Dado $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^2}$, demuestran $AH$ es perpendicular a $BC$

Question

En el triángulo rectángulo $\triangle$ABC en Un con % H $\in$ AC que: $$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}},$$ prove that AH $\asesino de$ BC.

Mi idea es dibujar AH' $\perp$ AC (H' $\in$ AC) y probar que H $\equiv$ H'

$$AH' \perp BC \implies AH'.BC = AB.AC = 2.Area \triangle ABC\implies AH' = \frac{AB.AC}{BC}$$

$$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{BC^2}{(AB.AC)^2}\implies AH=\frac{AB.AC}{BC}$$

Entonces AH = AH'

Creo que si AH = AH' y H, H' ambos radica en BC, H y H' debe ser el mismo punto y por lo tanto AY $\perp$ AC (porque AH' $\perp$ AC)

Pero, ¿cómo puedo probar esta parte? Creo que estoy casi allí, pero un poco atascado vino en mi camino. Toda la ayuda es apreciada. Gracias.

Answer 1

Básicamente estás hecho. Aunque, en general, de $AH=AH'$ $H,H'\in BC$ no podemos concluir que $H=H'$, aquí es cierto, porque la $AH'$ es perpendicular a $BC$. La razón: $AH'$ es la distancia más corta desde $A$ a la línea de $BC$, y hay un único punto en $BC$, viz. la base de la perpendicular cayó de $A$, que se obtiene de la distancia más corta.

Para justificar esto, incluso de manera más convincente, a pesar de que probablemente iba a ser una exageración, considere el círculo de radio $AH'$ centrada en $A$. Desde $AH'\perp BC$, el círculo es tangente a $BC$, así que lo cruza sólo en un punto.

Answer 2

Deje $H $ ser algún punto en $BC $ tal que $(AC \,.\, AB) = (AH \,.\, BC).$ (Una manera de escribir de la condición dada). Dividir ambos lados por $2$. RHS será el área de $ABC$. Por lo $AH $ ha de ser perpendicular a $ BC$.