Deje $A$ ser un subgrupo normal de $G$. Supongamos que cada elemento de a $G\,\backslash\, A$ orden $\bf 3$. A continuación, $[B,B^x]=1$ para todos los Abelian subgrupos $B\leq A$ $x\in G\,\backslash\, A$.
Hemos hecho muchos intentos de hecho, y han hecho un gran avance, pero todavía no hemos sido capaces de averiguar cómo utilizar la normalidad de $A$ y abelianity de $ B$, en el que sigo en la lucha...
Pregunta:
Creo que mi tarea podría ser la de mostrar $B\leq x^{-1}C_G(B)x =C_G(B^x)$, lo que implica $[B,B^x]=1$. Para mostrar que, tengo que probar $\forall a,\,b\in A, x\in G\setminus A$, $ax^{-1}bx=x^{-1}bxa$. Es precisamente donde nos quedamos. ¿Qué puedo obtener de ese $B\leq A$ donde $A$ es normal y $B$ es abelian? Cualquier sugerencia o detalle que se agradece!
También, me han dicho que mi trabajo tiene algo que ver con el Capítulo VI, En el isomorfismo de un Grupo con el Mismo, párrafo 66. del famoso libro-"Burnside, W.: Teoría de Grupos Finitos de Orden, 2da ed., Cambridge 1911; Las Publicaciones De Dover, Nueva York, 1955". [ Es un truco de la orden de $3$, el cual es mencionado en los comentarios y respuestas a continuación. ]
Soy bastante principiante en el grupo-teoría, y yo estaría agradecido por cualquier ayuda de ustedes!
PS: Es el ejercicio 1.5.6 de el libro de La Teoría de Grupos Finitos, Una Introducción. Berlin: Springer, 2004. [O la edición alemana de Kurzweil H, Stellmacher B. Theorie der endlichen Gruppen, Einführung. Berlin: Springer, 1998]
Respuesta
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Onorio Catenacci
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Esto no es una respuesta completa, pero espero te sirva de ayuda.
Deje $b \in A$$x \in G \setminus A$. Pretendemos que $b$ viajes con $b^x = x^{-1}bx$.
Deje $u = bx^{-1}bx$$v = x^{-1}bxb$. Queremos mostrar que $u=v$.
Ahora, desde la $b\in A,\,x\not\in A\Rightarrow bx^{-1}\not\in A\Rightarrow(bx^{-1})^3=1$,$(bx^{-1})^2u = bx$.
Del mismo modo, el uso de $x^{-2}=x$$(bx)^3=1$, obtenemos $(bx^{-1})^2v = bx^{-1}bxbxb = bx^{-1}(bx)^3x^{-1} = bx^{-2} = bx$.
Por lo $(bx^{-1})^2u = (bx^{-1})^2v$ y, por tanto,$u=v$, como se reivindica.
