La secuencia de $\frac{2}{2-u_n}$ diverge

Question

Deje $(u_n)$ ser una secuencia definida con $u_{0}$ un número real tal que $u_0 \notin \{0,1,2\}$ $$u_{n+1} = \frac{2}{2-u_n}$$

Demostrar que $(u_n)$ diverge.

Yo intente usar el hecho de que esta secuencia fluctúa, tener valores negativos, seguido por valores inferiores a 1, a continuación, obtener valores mayores de 1 para obtener una contradicción con la definición de convergencia. El problema es que yo no puede obtener ninguna información adicional después de encontrar un valor mayor que 1, porque no puedo eliminar la posibilidad de que a partir de ese punto, la secuencia será obligado por 2. Me estoy perdiendo algo aquí? Hay otra ruta que no estoy teniendo en cuenta?

Answer 1

si no, vamos a $u_n\to u$$n\to \infty$, entonces usted tendrá que $$u=\frac{2}{2-u}$$

¿Tiene una solución?

Answer 2

En primer lugar usted debe mostrar que $u_n$ está bien definida para todos los $n$ si $u_0 \notin \{0,1,2\}$. Sugerencia: la inducción. Si la secuencia convergente a$u\neq 2$, entonces usted podría tener el límite de ambos lados para obtener $u = \frac{2}{2-u}$ a que las soluciones de $u=1\pm i$. Dado que las secuencias de números reales no puede converger a $1\pm i$, no podría ser que $u_n$ converge a menos $u_n \to 2$. Mostrar que $u_n$ no converge a $2$. Sugerencia: si $0<|u_n-2| \leq \epsilon$, $|u_{n+1}| \geq 2/\epsilon$ es muy grande (y por lo tanto NO se cierre a $2$), se puede formalizar esto?

Answer 3

Deje $\mathbb{R}^{*} = \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$ y $f : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$ ser la función de $f(u) = \frac{2}{2-u}$, uno puede comprobar que $$f^{\circ 4}(u) = f(f(f(f(u)))) = u$$ A partir de esto, podemos ver a menos $f(u) = u$, la secuencia de $( u_n )$ definido por

$$u_n = \begin{cases} u, & n = 0\\ f(u_{n-1}), & n > 0\end{casos} \quad\ffi\quad u_n = f^{\circ n}(u) = \underbrace{f(f(\cdots f(u)\cdots)))}_{\verb/afirmar / n \verb/ veces/}$$ va a ser un no-periódica constante de la secuencia.

Es fácil de comprobar

$$f(u) = u\quad\iff\quad u = 1 \pm i \notin \mathbb{R}$$

y los valores excepcionales ${0,1,2}$ en cuestión se corresponde con el periódico $4$-órbita $$0 \to 1 \to 2 \to \infty \to 0 \to \cdots$$ que contiene $\infty$. A partir de esto, vamos a ver, por cualquier $u \in \mathbb{R} \setminus \{ 0, 1, 2 \}$, la secuencia de $( u_n )$ cae dentro de $\mathbb{R}$, no-periódica constante y por lo tanto diverge.

Answer 4

Deje $f(x) = \frac{2}{2-x}$ y considerar las diferencias $|x - f(x)|$. Si $u_n$ converge, debe ser una secuencia de Cauchy. Si logramos demostrar que $|x - f(x)|$ no puede estar tan cerca de cero como queremos, entonces la serie no puede converger.

Dado que sólo estamos interesados en lo cerca que se puede estar a cero, el signo no importa y podemos considerar $g(x) = x - f(x) = x - \frac{2}{2-x}$. A continuación,$g'(x) = 1 - \frac{2}{(2-x)^2}$. La derivada es estrictamente creciente y es cero en $x = 2 + \sqrt{2}$. Desde $g(2+\sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2}$, llegamos a la conclusión de que $g(x)$ tiene un efecto positivo global mínimo en $2+\sqrt{2}$, por lo que no puede ser arbitrariamente cercano a cero.