Mostrar conjunto no en $M\times M$ para la medida de Lebesgue

Question

Dejemos que $M$ sean los subconjuntos medibles por Lebesgue de $\mathbb{R}$ . Supongamos que $E\subseteq [0,1]$ y $E\not\in M$ . Entonces quiero demostrar que $E\times\{0\}\not\in M\times M$ , donde $M\times M$ es el más pequeño $\sigma$ -campo generado por los conjuntos $A\times B$ con $A,B\in M$ .

Bueno, el $\sigma$ -Las operaciones de campo son las uniones contables, la diferencia de conjuntos y la complementación. Ciertamente, $E\times\{0\}$ no es de la forma $A\times B$ con $A,B\in M$ porque $E\not\in M$ . Pero, ¿cómo podría probar $E\times\{0\}\not\in M\times M$ ? No veo cómo podría tener en cuenta las tres operaciones mencionadas anteriormente.

Answer 1

Esta es una manera:

Dejemos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R} $ se define por $ f(x) = (x,0)$ . Entonces $f$ es medible en el contexto de la $\sigma$ -campos $M$ , $M \times M$ (ver más abajo). Si $E'=E\times \{0\}$ era medible, entonces $f^{-1} E'$ sería medible. Sin embargo, $f^{-1} E' = E$ que no es medible. Por lo tanto, $E\times \{0\}$ no es medible.

Para ver que $f$ es medible como un mapa de la $\sigma$ -campos $M$ a $M \times M$ : Tenemos $f^{-1} (A \times B) = \begin{cases} A, &0 \in B \\ \emptyset, & \text{otherwise} \end{cases}$ Por lo tanto $f^{-1} (A \times B) \in M$ para todos $A,B \in M$ . Dado que el conjunto $\Sigma = \{ C | f^{-1} C \in M \}$ es un $\sigma$ -campo, tenemos $M \times M \subset \Sigma$ Por lo tanto $M$ es medible.

Nota : Esto demuestra que el $\sigma$ -campo $M \times M$ no está completo. Si lo fuera, todos los subconjuntos de medida cero serían medibles. Dado que $E \times \{ 0 \} \subset \mathbb{R} \times \{0\}$ y esta última tiene medida cero, la completitud implicaría que $E \times \{ 0 \} $ es medible.

En particular, como Nate observó a continuación, $f$ no es medible como un mapa de $M$ a $\overline{M \times M}$ .

Answer 2

Se puede demostrar inductivamente que para todo conjunto $C$ en el producto $\sigma$ -campo $M \times M$ , la "tajada horizontal" $E = \{x \in \mathbb{R} : (x,0) \in C\}$ está en $M$ . (El hecho de que $M$ es la medida de Lebesgue no importará para la prueba).

Esto es claramente cierto para los conjuntos básicos $C = A \times B$ donde $A$ y $B$ están en $M$ . Entonces se puede demostrar que se conserva bajo las operaciones que generan el $\sigma$ -campo de estos conjuntos básicos.

Una vez demostrado esto, se puede concluir que si el conjunto $C = E \times \{0\}$ está en el producto $\sigma$ -campo $M \times M$ su "rebanada horizontal" $E$ debe haber estado en $M$ para empezar.