Coequalizer en $\mathsf{Sets}$

Question

Supongamos que $f,g:X \to Y$ son flechas en $\mathsf{Sets}$ . Entonces el coequalizador viene dado por $c:Y \rightarrow Y/R$ donde $R \subseteq Y\times Y$ es la relación de equivalencia más pequeña en $Y$ s.t. $\forall x \in X: (f(x),g(x)) \in R$ . Dado cualquier $h:Y \rightarrow Z$ existe un único $\overline h: Y/R \to Z$ s.t. $\overline h \circ c = h$ . Sé que $\overline h ([y]) = h(y)$ .

Mi pregunta: ¿Cómo puedo probar que $[y]=[y'] \Rightarrow h(y) = h(y')$ ?

Answer 1

Dado cualquier $h:Y\to Z$ tal que $hf=hg$ ...

Ahora, " tienen la misma imagen bajo $h$ "determina una relación de equivalencia $H$ y puesto que $(f(x),g(x))\in H$ se deduce que $R\subseteq H$ .