Definición de homología de Hochschild en términos de Tor functor (barra de resoluciones)

Question

Tuve 2 tipo de tonto preguntas sobre la definición de homología de Hochschild en términos de la Tor functor:

1 - Vamos a $R$ $k$- álgebra y $M$ $R$- bimodule, vamos a $H_*(R,M)$ ser la homología de Hochschild de $R$ con coeficientes en $M$, esta homología también puede ser definida de la siguiente manera: la "barra de la resolución" de $R$ (que es en sí mismo una $R$-bimodule) como $R$-bimodule es:

$B(R,R) = \cdots \xrightarrow{b'} R \otimes R \otimes R \otimes R \xrightarrow{b'} R \otimes R \otimes R \xrightarrow{b'} R \otimes R$, $\space \space \space \space$(1)

aquí escribimos $\otimes$ $\otimes_k$, $B(R,R)_n = R^{\otimes n+2}$ y $B(R,R)_0 = R \otimes R$,

$b'_n(a_o \otimes \cdots \otimes a_{n+1}) = \Sigma_{i=0}^n (-1)^i a_0 \otimes \cdots \otimes a_ia_{i + 1} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}$,

y $b' \circ b' = 0$.

Deje $M$ $R$- bimodule (por lo tanto, un derecho $R^e$-módulo), si aplicamos el functor $(M \otimes_{R^e}-)$ para el complejo (1) se supone que debemos volver la homología de Hochschild:

$\cdots \xrightarrow{b} M \otimes R \otimes R \otimes R \xrightarrow{b} M \otimes R \otimes R \xrightarrow{b} M \otimes R \xrightarrow{b} M$,

lo que demuestra que $H_n(R,M) = Tor_n^{R^e}(M,R)$.

La cosa aquí es cuando aplico el functor $(M \otimes_{R^e}-)$ para el complejo (1) me pongo de nuevo:

$\cdots \xrightarrow{b} M \otimes R \otimes R \otimes R \otimes R \xrightarrow{b} M \otimes R \otimes R \otimes R \xrightarrow{b} M \otimes R \otimes R$,

no complejo (1)

¿Qué estoy haciendo mal?

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2 - Otra cosa, "la barra de la resolución" de una izquierda $R$-módulo de $M$ (como se define en la página 283 de Weibel, "álgebra Homológica") es

$B(R,M) = \cdots \rightarrow R \otimes R \otimes R \otimes M \rightarrow R \otimes R \otimes M \rightarrow R \otimes M \rightarrow M$,

donde$B(R,M)_n = R^{\otimes n+1} \otimes M$$B(R,M)_0 = R \otimes M$,

Me preguntaba, si $M$ $R$- bimodule

- Es esta resolución también una resolución de $M$ como $R^e$-módulo?

- Y el es $R \otimes M$ proyectiva como una izquierda $R^e$-módulo?

:)

Answer 1

Voy a tratar de responder a la primera parte de su pregunta por la introducción de la homología de Hochschild, mostrando cómo la barra de la resolución puede ser usada para calcular un $\operatorname{Tor}$ de interés y se refieren a la homología de Hochschild.

Deje $R$ $k$- álgebra y $M$ $R-R$ bimodule. Con $k$ se denota un campo y escribimos $\otimes$$\otimes_k$. El álgebra envolvente de $R$ está dado por $R^e:=R\otimes R^{op}$, denotando por $R^{op}$ el opuesto de álgebra.

La homología de Hochschild $HH(R,M)$ con coeficientes en $M$ es la homología de los complejos

$$\mathcal C(M,R):~~ 0 \leftarrow M\leftarrow M\otimes R\leftarrow M\otimes R\otimes R\leftarrow \cdots$$ con diferencial $d=\sum_i (-1)^i \partial_i$ define en términos de la cara bien conocida mapas de $\partial_i$. Si se introduce el no normalizados barra de la resolución de $\beta(R,R)$$R$, podemos escribir la isormorphism $$\beta(R,R)_n:=R\otimes R^{\otimes n} \otimes R \simeq (R\otimes R^{op}) \otimes R^{\otimes n}=R^{e} \otimes R^{\otimes n}$$

de $R-R$-bimodules para cada una de las $n\geq 0$; $R^e$- planeidad de dicha resolución y por la definición de $\operatorname{Tor} $ llegamos a $$\operatorname{Tor}^{R^{e}}(M,R)=H(M\otimes_{R^{e}}\beta(R,R)). $$

El isomorfismo $\rho:M\otimes_{R^{e}}\beta_n(R,R)\rightarrow M\otimes R^n$, con $\rho(m,r_0,r_1,\dots,r_n,r_{n+1}):=(r_{n+1}mr_0,r_1,\dots,r_n)$ todos los $n\geq 0$ (observe que hemos utilizado el hecho de que $M$ $R-R$- bimodule) da la identificación $$M\otimes_{R^{e}}\beta(R,R)= \mathcal C(M,R), $$

como deseaba.

Answer 2

Respecto a su segunda pregunta: si $M$ es un bimodule, el complejo de $B(R,M)$ es, de hecho, un complejo de $R$-bimodules (los objetos son bimodules y los mapas son bimodule mapas), y es exacto, pero en general no es proyectiva.

De hecho, $R\otimes M$ generalmente no es proyectiva.

Aviso, de hecho, que hay isomorphisms $\hom_{R{-}R}(R\otimes M,N)\cong\hom_{{-}R}(M,N)$ natural en $N$, por lo que el bimodule $R\otimes M$ es proyectiva iff $M_R$ es proyectiva (para ello, necesitamos que $k$ ser un campo o algo por el estilo)