Determinar la matriz relativa a una determinada base

Question

Pregunta: (a) Deje $f: V \rightarrow W$ $ V,W \simeq \mathbb{R}^{3}$ dado por: $$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_3, 2x_1 -5x_2 -x_3, x_2 + x_3).$$

Determinar la matriz de $f$ en relación a la base $\{(0,2,1),(-1,1,1),(2,-1,1)\}$$V$$\{(-1,-1,0),(1,-1,2),(0,2,0)\}$$W$.

(b) Deje $n \in \mathbb{N}$ $U_n$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado $\leq n$. El lineal mapa de $f: U_n \rightarrow U_n$ está dado por $f(p) = p'$. Determinar la matriz de $f$ en relación a la base $\{1,t,t^{2},...,t^{n}\}$$U_n$.

Mi intento: (a): la Primera relativa a las bases de $W$ I encontrar las coordenadas de un vector arbitrario: $\left( \begin{array}{r} a \\ b \\ c \end{array} \right) = x \left( \begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) + y \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) + z \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)$

$\begin{array}{l} a = -x + y \\ b = - x - y + 2z \\ c = 2y \end{array}$ o $\begin{array}{l} x = -a + \frac{1}{2}c \\ z = -\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c \\ y = \frac{1}{2}c \end{array}$

En este punto creo que tengo la combinación lineal de la base en $W$ por un vector arbitrario, por lo que el próximo tomo de los vectores de $V$ y enviarlos a $W$ el uso de la función dada:

$\begin{array}{l} f(v_1) = f(0,2,1) = (-1,-11,3) = (1 + \frac{3}{2})w_1 + \frac{3}{2}w_2 + (\frac{1}{2} - \frac{11}{2} + \frac{3}{2})w_3 \\ f(v_2) = f(-1,1,1) = (-2,-8,2) = (2+1)w_1 + w_2 + (1 - 4 +1)w_3 \\ f(v_3) = f(2,-1,1) = (1,8,0) = w_1 + (-\frac{1}{2} + 4)w_3 \end{array}$

o $\left( \begin{array}{rrc} \frac{5}{2} & 3 & 1 \\ \frac{3}{2} & 1 & 0 \\ -\frac{7}{2} & -2 & \frac{7}{2}\end{array} \right)$

Estaba yo tomando los pasos correctos? Yo en realidad no hacer nada distinto basado en el hecho de que $V,W$ fueron isométrica... hay una particular significación o interpretación de la matriz resultante?

(b): No realmente seguro de aquí...

$f(p) = p'$

tendría sentido escribir algo como:

$f(1,t,t^{2},\dots, t^{n}) = (0,1,2t, \dots, nt^{n-1})$?

y si la base para la $(1,t,t^{2},\dots, t^{n})$ $A = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{array} \right)$

podría escribir:

$A' = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right)$?

Answer 1

Sí, su solución (a) es correcta asumiendo sus cálculos para aprender a expresar los elementos es correcta. Aunque usted no necesita saber cómo escribir un arbitrario vector en términos de la base de $W$, usted sólo necesita saber cómo escribir $f(0,2,1)$, $f(-1,1,1)$, y $f(2,-1,1)$ (las imágenes de los vectores de la base para $V$) en términos de la base de $W$.

No, no necesitas usar el hecho de que $V$ $W$ son isomorfos (no consideramos una métrica aquí, por lo que "isométrica" no es apropiado en este caso).

La respuesta a (b), por otro lado, no está bien hecho (o correcta).

La base para el espacio vectorial es $\{1,t,\ldots,t^n\}$. Para encontrar la representación de la matriz de $f$ con relación a esta base, usted necesita para encontrar la imagen de cada base de vectores en el dominio, y expresarlos en términos de los vectores de la base de la gama. Pero recuerde: los vectores en $U_n$ no son tuplas, son polinomios. Por lo $(1,t,\ldots,t^n)$ no es un elemento de $U_n$.

Así, usted tiene que encontrar cada uno de $f(1)$, $f(t)$, $f(t^2),\ldots, f(t^n)$, y luego expresarlas en términos de la base de la gama, que pasa a ser de nuevo $\{1,t,t^2,\ldots,t^n\}$. Así, por ejemplo, $f(t^2) = 2t$, por lo que $$f(t^2) = 0\cdot 1 + 2\cdot t + 0\cdot t^2 + \cdots + 0\cdot t^n.$$ Eso significa que la tercera columna de la matriz (el correspondiente a la tercera base del vector, que es $t^2$) será la transpuesta de a $(0,2,0,\ldots,0)$, que es $$\left(\begin{array}{c} 0\\2\\0\\ \vdots \\ 0\end{array}\right).$$ Etc.

Answer 2

He aquí una sugerencia para ver la imagen más grande en su primera pregunta:

1. La idea clave a continuación es que los vectores columna de una matriz $M$ son las imágenes de la norma se solicitan cuando la matriz $M$ es visto como una transformación $M: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.

2. Es fácil encontrar una matriz de f con respecto a la norma ordenó a base de $\mathbb{R}^3$: está dada por una matriz con columnas $\{1, 2, 0\}$, $\{0, -5, 1\}$, y $\{-1, -1, 1\}$. Llamar a esta matriz $C$.

3. La matriz que transforma el dado ordenó a base de $V$ para el estándar de la base de $\mathbb{R}^3$ está dado por la escritura de la base de vectores como columnas de esta matriz. Del mismo modo, esto puede ser hecho por la base de la $W$. Vamos a llamar a estas matrices $A$$B$.

4. Te deseo una matriz que representa a $f$. La interpretación de las matrices anteriores como las transformaciones, considere el siguiente diagrama:

$$\begin{array}{ccc} V & \to & \mathbb{R}^3\\ \downarrow & \qquad & \downarrow\\ W & \to & \mathbb{R}^3 \end{array}$$

donde los mapas horizontales se $A$ $B$ y el vertical derecho del mapa es $C$. Su deseada de la matriz es la izquierda flecha vertical. Ahora está claro que está dada por la matriz $B^{-1} C A$.