Índice de ciclo.
$$Z(D_p) = \frac{1}{2p} \left(a_1^{p} + (p-1) a_p + p a_1 a_2^{(p-1)/2}\right)$$
Estamos interesados en
$$[B^m W^{p-m}] Z(D_p; B+W).$$
Tiene tres componentes.
Primer componente.
$$[B^m W^{p-m}] \frac{1}{2p} (B+W)^p = \frac{1}{2p} {p\choose m}.$$
Segundo componente.
$$[B^m W^{p-m}] \frac{p-1}{2p} (B^p+W^p).$$
Esto es usando un soporte Iverson:
$$\frac{p-1}{2p} [[m=0 \lor m=p]].$$
Tercer componente.
$$[B^m W^{p-m}] \frac{1}{2} (B+W) (B^2+W^2)^{(p-1)/2}.$$
Ahora con $p$ primera no podemos tener ambas $m$ y $p-m$ incluso, o ambos impar, por lo que uno es impar y el otro par. Suponiendo que $m$ es impar obtenemos
$$[B^{m-1} W^{p-m}] \frac{1}{2} (B^2+W^2)^{(p-1)/2} \\ = [B^{(m-1)/2} W^{(p-m)/2}] \frac{1}{2} (B+W)^{(p-1)/2} = \frac{1}{2} {(p-1)/2 \choose (m-1)/2}.$$
Alternativamente, si $p-m$ es impar obtenemos
$$[B^{m} W^{p-m-1}] \frac{1}{2} (B^2+W^2)^{(p-1)/2} \\ = [B^{m/2} W^{(p-m-1)/2}] \frac{1}{2} (B+W)^{(p-1)/2} = \frac{1}{2} {(p-1)/2 \choose m/2}.$$
Forma cerrada.
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \frac{1}{2p} {p\choose m} + \frac{p-1}{2p} [[m=0 \lor m=p]] + \frac{1}{2} {(p-1)/2 \choose (m-[[m \;\text{odd}]])/2}.}$$
Comprobación de cordura.
Con una coloración monocroma deberíamos obtener una como respuesta, y encontramos para $m=0$ ( $B^0 W^p = W^p$ )
$$\frac{1}{2p} {p\choose 0} + \frac{p-1}{2p} + \frac{1}{2} {(p-1)/2 \choose 0} = \frac{p}{2p} + \frac{1}{2} = 1.$$
Del mismo modo obtenemos para $m=p$ ( $B^p W^0 = B^p$ )
$$\frac{1}{2p} {p\choose p} + \frac{p-1}{2p} + \frac{1}{2} {(p-1)/2 \choose (p-1)/2} = \frac{p}{2p} + \frac{1}{2} = 1.$$
La comprobación de cordura pasa. Otra comprobación de cordura es $m=1$ o $m=p-1$ que también debería dar una coloración. Encontramos
$$\frac{1}{2p} {p\choose 1} + \frac{1}{2} {(p-1)/2\choose 0} = 1$$
y
$$\frac{1}{2p} {p\choose p-1} + \frac{1}{2} {(p-1)/2\choose (p-1)/2} = 1.$$
