Es la longitud de la multilineal de la cruz del producto dada por esta fórmula? Si no, ¿cuál es la fórmula correcta?

Question

Este es un intento de hacer esta pregunta más específica.

Podemos calcular la longitud de la cruz del producto en $\mathbb{R}^3$ mediante la fórmula: $$|x\times y| = \sqrt{|x|^2|y|^2 - |x\cdot y|^2}$$

Esto tiene sentido para $x,y \in \mathbb{R}^3$ y tiene un sentido geométrico; es el área del paralelogramo generado por $x$ e $y$.

También hay una de mayores dimensiones de la versión. Por ejemplo, si $x,y,z \in \mathbb{R}^4$, hay una manera natural de obtener un vector ortogonal, que bien podríamos denominar $x \times y \times z$. Se debe entender que la función de $\Box \times \Box \times \Box$ es un operador ternario, y no puede ser refactorizado como $(\Box \times \Box) \times \Box$ ni nada de eso.

De todos modos, me gustaría saber si hay una fórmula similar para la de mayores dimensiones de los productos cruzados, tal vez de la forma $$|x \times y \times z| = \sqrt{\mathrm{something}}$$

Parece razonable suponer que esta es la raíz cuadrada del determinante de la correspondiente Gramian de la matriz. En particular, parece razonable esperar que $$|x \times y \times z| = \sqrt{\det([x,y,z]^\top [x,y,z])}$$

Estoy tentado de escribir esto como una respuesta a la cuestión vinculada al principio de esta pregunta, pero no estoy 100% seguro de que es cierto.

Pregunta. Es la longitud de la multilineal producto cruzado de $x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}^{n+1}$ dado por $$|x_1 \times \cdots \times x_n| = \sqrt{\det([x_1,\ldots,x_n]^\top [x_1,\ldots,x_n])}\ ?$$

Si es así, ¿cómo podemos demostrar esto?

Si no, ¿cuál es la fórmula correcta?

Answer 1

Muestro la prueba de $n=3,$ puede ser fácilmente extendido a cualquier $n\in\mathbb{N}.$

Deje $u=x\times y\times z$ e $A=\begin{pmatrix} & & & \\ u & x & y & z \\ & & & \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4}.$ Aplicando la Regla de Cramer, nos encontramos con $$ A^T\cdot u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \det(A) $$ Por otro lado, tenemos a $u=A\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.$ por lo Tanto, $$ A^TA\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\cdot \det(A) $$ Tenga en cuenta que $$A^TA = \begin{pmatrix} u^Tu & 0 \\ 0 & \left[x,y,z\right]^T\left[x,y,z\right] \end{pmatrix} $$ Por lo tanto, obtenemos $$ u^Tu = \det(A) = \sqrt{\det(A^T)\det(A)} = \sqrt{\det(A^TA)} =\sqrt{u^T u \cdot \det(\left[x,y,z\right]^T\left[x,y,z\right])} $$ Ahora podemos dividir por $\sqrt{u^Tu}$ en ambos lados y obtener el resultado deseado.