Pueden potencias de números primos ser perfecto números?

Question

Tengo que probar el siguiente, aunque no estoy 100% seguro de que entiendo que la definición de un número perfecto.

Demostrar que no hay un número ideal es una potencia de un primo.

Primero de todo, estoy suponiendo que la pregunta me pide probar que para cualquier prime $p$, y para todos los números naturales\enteros positivos $n$, $p^n$ no es un número perfecto. Estoy en lo cierto en esta comprensión del problema?

Basado en esto, he llegado a la siguiente para demostrar este teorema...

Deje $p$ ser un número primo. Suponga que $p^n$ es un número perfecto para algunos $n\in\mathbb{N}$. Por lo tanto, $$p^n=\underbrace{p\cdot p\cdot p\cdots p}_{n\text{ prime numbers}}=\underbrace{1+p+p^2+p^3+\cdots +p^{n-1}}_{\text{sum of all divisors of $p^n$ except itself}}=\frac{p^n-1}{p-1}.$$

Como $\frac{p^n-1}{p-1}\leq p^n-1<p^n$ todos los $p\geq 2$, esto es una contradicción, lo que demuestra que no hay alimentación de un prime puede ser un número perfecto.

Sin detenerse demasiado, estoy suponiendo que mi prueba termina aquí, porque la definición que me dieron para un número perfecto es que es igual a la suma de todos sus divisores excepto a sí misma. Desde sólo serán válidos los divisores de un número de la forma $p^n$ son de 1 y todos los poderes de $p$$1$$n-1$, esto es lo que se me ocurre. Y desde $1$ no es un número primo, por convención, esto parece llevar a cabo.

Nota: he utilizado la identidad de $1+x+x^2+x^3+\cdots +x^{n-1}=\frac{x^n-1}{x-1}$ porque fue muy bien demostrado en mi libro de texto.

Answer 1

Una forma rápida de probar que no se prime el poder es perfecto, es notar que, si $p$ es un número primo, entonces $p \geq 2$, por lo que

$$\frac{\sigma(p^k)}{p^k} = \frac{1 + p + \ldots + p^k}{p^k} = \frac{p^{k+1} - 1}{p^k(p - 1)} < \frac{p^{k+1}}{p^k(p - 1)} = \frac{p}{p - 1}.$$

Ahora, desde la $p \geq 2$, obtenemos que

$$\frac{1}{p} \leq \frac{1}{2} \Longrightarrow -\frac{1}{p} \geq -\frac{1}{2} \Longrightarrow 1 - \frac{1}{p} \geq 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

En consecuencia, tenemos:

$$\frac{p - 1}{p} \geq \frac{1}{2} \Longrightarrow \frac{p}{p - 1} \leq 2.$$

Llegamos a la conclusión de que:

$$\frac{\sigma(p^k)}{p^k} < \frac{p}{p - 1} \leq 2.$$

De hecho, esta desigualdad muestra que todos los primer poderes son deficientes. Por lo tanto, ningún primer poder es perfecto.

Answer 2

Como André Nicolas tu razonamiento es bueno, es suficiente para demostrar que no hay un número ideal es una privilegiada de poder, pero usted debe demostrar que $p^n \neq \frac{p^n - 1}{p-1}$ para completar la respuesta, porque no es así obivous y algo que damos por sentado. Aquí hay un poco de ayuda.

Tratar de probar que el uso de contradicción. Asumir que:

$p^n = \frac{p^n - 1}{p-1}$

$p-1$ obviamente no es 0, por lo que se multiplican por ella.

$$p^n(p-1) = p^n - 1$$ $$p^{n+1} - p^n - p^n = -1$$ $$p^{n+1} - 2p^n = -1$$ $$p^n(p-2) = -1$$

Debido a que ambos términos son números enteros, lo que significa que tenemos dos casos diferentes:

$$ \left\{\begin{aligned} &p^n = 1\\ &p-2 = -1 \end{aligned} \right.$$

Esto implica que $p=1$, pero dado que p es un primo, no puede ser 1.

$$ \left\{\begin{aligned} &p^n = -1\\ &p-2 = 1 \end{aligned} \right.$$

La segunda ecuación implica que $p=3$, pero $3^n = -1$ no es posible en ningún caso. Así que ya hemos agotado todas las posibilidades y no encontramos una solución, eso significa que nuestra hipótesis inicial de que está mal.

Q. E. D.