Demostrando $\cot { A+\cot { B+\cot { C=\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ 4K } } } } $

Question

Para cualquier aguda $\triangle ABC$, demuestran que, a $\cot { A+\cot { B+\cot { C=\frac { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }{ 4K } } } } $ donde $K$ es el área de $\triangle ABC$.

Por desgracia, yo no soy capaz de avanzar en este problema. Cualquier tipo de ayuda será apreciada.

Gracias.

Answer 1

Aquí es una solución sencilla

$\cot A+\cot B+\cot C = \frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{(b^2+c^2-a^2)}{2bc\frac{a}{2R}}+\frac{(a^2+c^2-b^2)}{2ac\frac{b}{2R}}+\frac{(a^2+b^2-c^2)}{2ab\frac{c}{2R}}$.

Ahora uso $\frac{abc}{4R}=K$

Answer 2

$$\cot A=\dfrac{\cos A}{\sin A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}$$

Ahora $\triangle =\dfrac{abc}{4R}$

Answer 3

Sugerencia: $4K = 4\cdot \dfrac{abc}{4R}= \dfrac{abc}{R}= 2bc\sin A\Rightarrow 4K\cot A = 2bc\cos A = b^2+c^2 - a^2$