Necesito solucionar estos 2 límites ( sin el uso de L'Hospital de la Regla) , pero no puedo averiguar cómo ir sobre ellos:
Vamos $a \neq b$, $c \neq 0$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\sin(cx)}$$
También, vamos a $a>0$, $a \neq 1$.
$$\lim_{x\to 0} x(a^{\frac1x}-1)$$
Yo no se requiere necesariamente el resultado, más como la comprensión del proceso.
Escribir $x$, $e^{ax} = 1+ax +O(x^2)$, $e^{bx} = 1+bx+O(x^2)$, y $\sin cx = cx+O(x^3)$. A continuación,
$$\begin{align} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{\sin cx} & = \frac{\left(1+ax\right)-\left(1+bx\right)+O(x^2)}{cx+O(x^3)} \\ & = \frac{(a-b)+O(x)}{c+O(x^2)} \\ &= \frac{a-b}{c} \left(1+O(x)\right) \end{align}$$ que va a$\frac{a-b}{c}$$x \to 0$.
Para el segundo límite, tenga en cuenta que puede ser dividido en dos partes.
$$\begin{align} \lim_{x \to 0} x\left(a^{\frac{1}{x}}-1\right) & = \lim_{x \to 0} xa^{\frac{1}{x}}-\lim_{x \to 0} x \\ & = \lim_{x \to 0} xa^{\frac{1}{x}} \\ & = \lim_{x \to 0} e^{\log \left(xa^{\frac{1}{x}}\right)} \\ & = \lim_{x \to 0} e^{\log (x)+\frac{1}{x}\log(a)} \\ & = u(a-1) \infty \end{align}$$ donde $u$ es la unidad de función de paso. Esta última igualdad se justifica ya que de forma heurística, $x^{-1} \to \infty$ más rápido que el de $\log x \to -\infty$.
Para el segundo problema, el límite no existe para ambos casos $0<a<1 $ $a>1$ desde
1) el caso $0<a<1$ $$ \lim_{x\to 0^+} x(a^{1/x}-1) = 0,\quad \lim_{x\to 0^-} x(a^{1/x}-1) = -\infty $$
2) en el caso $ a>1$ $$ \lim_{x\to 0^+} x(a^{1/x}-1) = \infty,\quad \lim_{x\to 0^-} x(a^{1/x}-1) = 0. $$
Ahora intenta el estudio de estos casos.
Nota: creo que has estudiado la noción de izquierda límite ($\lim_{x\to 0^-}$) y a la derecha el límite de ($\lim_{x\to 0^+}$).
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