¿Cuál es la diferencia entre el Principio G de paquetes de v. s. Plano G conexión?
He oído que para un grupo discreto $G$ (en física, o de un grupo finito $G$ en matemáticas), el principio G de paquetes es el mismo que el plano G conexión.
Sé que las definiciones, pero me gustaría saber explícito casos donde puedo ver sus diferencias. Como este MO post.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para un grupo topológico $G$ y una ruta de acceso conectados a la base del espacio de $X$ principal $G$-bundle está clasificado por un mapa de $X \to BG$ donde $BG$ es la clasificación de espacio, mientras que un director de $G$-bundle con tv de conexión (que, presumiblemente, es lo que quería preguntar acerca de) está clasificado por un mapa de $\pi_1(X) \to G$ (su monodromy), o, equivalentemente, por un mapa $X \to BG_{\delta}$ donde $G_{\delta}$ $G$ equipado con la topología discreta.
Los dos espacios anteriores son los mismos cuando se $G$ es discreto pero a la vez diferentes en general. Por ejemplo,
$$\pi_1(BG_{\delta}) \cong G$$
mientras
$$\pi_1(BG) \cong \pi_0(G).$$
Así que ya en un círculo las clasificaciones de las principales $G$-paquetes vs principal $G$-paquetes con tv de conexión son muy diferentes, y la diferencia persiste por más dimensiones esferas: $BG_{\delta}$ no tiene mayor homotopy, pero la mayor homotopy grupos de $BG$ son los de mayor homotopy grupos de $G$ se desplaza hacia abajo con un índice.
Si su pregunta estaba en un nivel más básico que el de este, el punto es que hay una conexión extra estructura se puede poner en una de las principales paquete que lo equipa con una noción de transporte paralelo, y el plano es una propiedad adicional que garantiza que el transporte paralelo a sólo depende de la homotopy clase de la ruta. Sin una conexión incluso no tenga una noción de transporte paralelo.
