Mostrar la continuidad utilizando la definición de Delta Epsilon

Question

Utilizando la definición de Epsilon Delta, demuestre que $f(x)=x^2$ es continua en todo R, es decir, que

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$ para cada $a$ que es un elemento de los reales.

b) hacer lo mismo para

$$ g(x)=\begin{cases} x^2,\quad x \geq 0,\\ 2x, \quad x < 0. \end{cases}$$

Answer 1

Demostrar tu primera pregunta equivale a demostrar que para todo $x$ $$\lim_{x \to a}x^2=a^2.$$ Para hacer esto con el $\varepsilon-\delta$ definición necesitamos encontrar un $\delta$ tal que $|x^2 - a^2| < \varepsilon$ siempre que $|x-a| < \delta$ . Podemos manipular esta primera desigualdad para obtener $$|x^2-a^2|=|x-a|\cdot|x+a| < \varepsilon.$$ Y luego, como somos libres de imponer los requisitos que queramos a $|x-a|$ (sólo tenemos que encontrar un $\delta$ que funciona, sea cual sea), podemos exigir que $|x-a| < 1$ . El $1$ se ha elegido sólo por comodidad, cualquier número funcionaría. Así que ahora que tenemos $|x-a| < 1$ sabemos por la desigualdad del triángulo que $|x| - |a| \leq |x - a| < 1$ o $|x| < 1 + |a|$ . Esto significa que $|x+a| \leq |x| + |a| < 2|a| + 1$ . Si juntamos esto con nuestra desigualdad anterior de que $|x-a|\cdot|x+a| < \varepsilon$ podemos decir que $$|x^2-a^2| = |x-a| \cdot |x+a| < |x-a| \cdot(2|a|+1).$$

Así que para resumir, si requerimos que $|x-a| < 1$ y $|x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1}$ Esto implica que $|x^2 - a^2| < \varepsilon$ . Otra forma de reescribir nuestros requisitos para $|x-a|$ es $|x-a| < \mathrm{min}(1,\frac{\varepsilon}{2|a|+1})$ o $\delta = \mathrm{min}(1,\frac{\varepsilon}{2|a|+1})$ .

---

Ahora, para demostrar (b), primero hay que tener en cuenta que nuestra prueba anterior implica que $f(x) = x^2$ es continua para todo $x > 0$ y por lo tanto $g(x)$ es continua para $x > 0$ . Para demostrar que es continua para todo $x < 0$ sólo tenemos que demostrar que $$\lim_{x\to a}2x=2a.$$ Esto se puede hacer eligiendo $\delta = \varepsilon / 2$ porque entonces si $|x-a| < \delta = \varepsilon/2$ Esto implica que $2|x-a| < \epsilon$ o $|2x - 2a| < \varepsilon$ .

Ahora sólo queda demostrar que la función es continua en $x = 0$ . Para ello, hay que demostrar que $$\lim_{x \to 0^+}x^2 = \lim_{x \to 0^-} 2x = g(0) = 0.$$

¡Pero si ya lo hemos probado! Como nuestras pruebas anteriores implican que $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ y este límite sólo existe si es igual a los límites izquierdo y derecho, $\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$ . El mismo argumento es válido para $\lim_{x \to 0^-} 2x$ y esto completa la prueba.