Por favor, ayúdenme a encontrar la expansión de Taylor (o aproximación) para $f(x)=\frac{1}{x^2(x-1)}$ alrededor de $a=2$

Question

En primer lugar, perdón si mis traducciones son malas. Necesito ayuda para este ejercicio, más concretamente, necesito saber si el resultado que he encontrado es bueno.

El ejercicio: Encontrar la expansión de Taylor (o la aproximación) para $f(x)=\frac{1}{x^2(x-1)}$ alrededor del punto $2$ . $a=2$ en la fórmula de la serie de Taylor: $f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

He probado esto: $f(x)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x-1}$ entonces encontré $n$ -derivada de cada función en el punto $a=2$ :

$f_1(x)=-\frac{1}{x}; f_1^{(n)}(2)=(-1)^{n+1}\frac{n!}{2^{n+1}}$

$f_2(x)=-\frac{1}{x^2}; f_2^{(n)}(2)=(-1)^{n-1}\frac{(n+1)!}{2^{n+2}}$

$f_3(x)=\frac{1}{x-1}; f_3^{(n)}(2)=(-1)^n n!$

Entonces escribí esto:

$$\begin{align} f(x)&=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{(x-2)^n}{2^{n+1}}+\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(n+1)(x-2)^n}{2^{n+2}}+\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(x-2)^n\\ &=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}(x-2)^n\frac{2^{n+2}+n+3}{2^{n+2}}\end{align}$$

Espero que alguien pueda ayudarme diciéndome si el resultado que he encontrado es correcto o no.

Answer 1

El procedimiento general es correcto. Y los detalles también parecen bastante buenos. Ahora podría comprobar los detalles, no sería difícil.

En su lugar, haré el problema de una manera algo diferente, que en general es más eficiente. Resultará que un error de signo se coló en su cálculo.

Tenemos $$f(x)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x-1}$$ y quieren expresar $f(x)$ como una suma de potencias de $x-2$ . Es útil, aunque no necesario, dejar que $y=x-2$ . Entonces $x=y+2$ . Sustituyendo por $x$ obtenemos $$f(y+2)=g(y)= -\frac{1}{y+2}-\frac{1}{(y+2)^2} + \frac{1}{y+1}.$$

Queremos expresar $g(y)$ como una suma de potencias de $y$ . Empecemos por la parte más fácil, $\frac{1}{1+y}$ .

Sería una pena hacer un montón de diferenciaciones cuando ya conozca la expansión en serie de la potencia de $1/(1+y)$ . O al menos conocemos con certeza la expansión en serie de potencias de $1/(1-z)$ y luego podemos poner $y=-z$ . Así, $$\frac{1}{1+y}=1-y+y^2-y^3+\cdots=\sum_0^\infty (-1)^ny^n\qquad\qquad\text{(Term $ 1 $)}$$

Eso fue fácil. Pasemos al siguiente término más fácil, $1/(y+2)$ (Sé que debería haber un signo menos delante, me ocuparé de ello más tarde). Tenemos $$\frac{1}{2+y}=\frac{1/2}{1+y/2}.$$ Sería una pena no utilizar el hecho de que conocemos la expansión en serie de potencias de $1/(1-z)$ . Obtenemos $$\frac{1}{2+y}=\frac{1}{2}\sum_0^\infty (-1)^n\frac{1}{2^n}y^n=\sum_0^\infty \frac{(-1)^n}{2^{n+1}}y^n,$$ y por lo tanto $$-\frac{1}{2+y}=\sum_0^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}y^n.\qquad\qquad\text{(Term $ 2 $)}$$

Por último, queremos que la expansión de $1/(2+y)^2$ en los poderes de $y$ . Acabamos de obtener la expansión de $1/(2+y)$ . Tenga en cuenta que $1/(2+y)^2$ es (casi) la derivada de $1/(2+y)$ . En concreto, es el negativo de la derivada de $1/(2+y)$ . Así pues, diferenciemos la serie que hemos obtenido para $1/(2+y)$ término por término. Encontramos $$-\frac{1}{(y+2)^2}=\sum_0^\infty \frac{(-1)^{n} n}{2^{n+1}}y^{n-1}=\sum_0^\infty \frac{(-1)^{n+1} (n+1)}{2^{n+2}}y^{n} \qquad\qquad\text{(Term $ 3 $)}$$

Ahora sólo es cuestión de añadir Términos $1$ , $2$ y $3$ juntos. Entiendo, reemplazar $y$ por $x-2$ lo siguiente: $$\sum_0^\infty (-1)^n\left(1-\frac{n+3}{2^{n+2}}\right)(x-2)^n.$$

Comentario : Cuando estamos calculando expansiones de series de potencia, es bueno evitar todas esas diferenciaciones, por reciclaje expansiones estándar.