Alguien me puede ayudar con una prueba analítica para esto? Se trata de una pregunta sobre la Suficiencia de Datos en cuestión; y mientras yo pueda empíricamente ver la respuesta, demostrando que analíticamente es más allá de mis capacidades.
Respuestas
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5xum
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The Short One
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61
Desde $x^2$ $x^3$ son, incluso, por supuesto, no son números naturales $n,m\in \mathbb N$ tal que $$ x^2 = 2n, x^3 = 2m. $$ Tratando de producir $x$ por la división da $$\begin{split} x &= \frac{x^3}{x^2} =\frac{2m}{2n} = \frac mn \\ &= \frac{x^4}{x^3} = \frac{4n^2}{2m} = \frac{2n^2}{m}, \end{split}$$ lo que implica $$ m^2 = 2n^3. $$ Por lo tanto $m$ debe ser divisible por $n$, lo $x$ es un número natural. Desde $x^2$ es incluso, $x$ no puede ser impar.
Anthony Shaw
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858
Si $x^2\in2\mathbb{Z}$$x^3\in2\mathbb{Z}$,$x=x^3/x^2\in\mathbb{Q}$.
Desde $x^2-2k=0$ algunos $k\in\mathbb{Z}$, $x$ es un entero algebraico.
Como se muestra en esta respuesta, la intersección de a $\mathbb{Q}$ y la algebraica de números enteros es $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, $x\in\mathbb{Z}$. Ahora podemos utilizar el hecho de que $x$ debe ser, incluso, si fuese impar, $x^2$ sería extraño.
Justin Lindberg
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La pregunta podría ser mejor formulada como
Si $x^2$ $x^3$ son ambos números enteros, es $x$ necesariamente un entero par?
No creo que la pregunta es, a priori, suponiendo que $x$ es incluso un número entero.
Me gustaría empezar por mostrar que desde $x^2$ $x^3$ son ambos enteros, $x=x^3/x^2$ debe ser un número racional.
Un poco difícil (pero muy estándar) cosa que demostrar aquí es que si la raíz cuadrada de un número entero es racional, entonces es también un número entero. Por lo tanto $x=\pm\sqrt{x^2}$ es un número entero (ya que es el racional de la raíz cuadrada de un número entero.)
Desde $x$ es un entero es par o impar. Si es impar, entonces $x^2$ $x^3$ son ambos impares. Por lo tanto $x$ debe ser, incluso, desde la $x^2$ $x^3$ ciertamente no son ambos impares.
