Problema con la resolución de $u_x+xu_y=1$ utilizando el método de las características

Question

Tengo un ejercicio en mi PDE de la clase que estoy luchando por resolver.

Resolver los siguientes eq utilizando el método de las características $$u_x(x,y)+xu_y(x,y) = 1 \qquad (x,y) \in \mathbb{R}^2$$ $$u(3,y) = y^2 \qquad y \in \mathbb{R}$$

Mi planteamiento era :
Para encontrar las características de solucionar $(x'(t),y'(t)) = (1,x(t)) $
Así que me puse a$\quad x(t) = t+x_o; \quad y(t) = \frac{1}{2}t^2+x_0t+y_0 $
Ahora queremos que nuestras características para que se inicie en una curva donde sabemos que el valor de $u$, de ahí empezar a $\Gamma = \{ (3,s) : s \in \mathbb{R} \}$.
Llegamos $\quad x_0 = 3 ; \quad y_0 = s$

Ahora $u'(x(t),y(t)) = u_x(x(t),y(t)) + x(t)u_y(x(t),y(t)) = 1$ por lo tanto $u(x(t),y(t)) = t+ u_0 $ donde $u_0 = s^2$
Así, obtenemos $u((t+3),(\frac{1}{2}t^2+3t+s)) = s^2 +t$

No podía encontrar una manera fácil de calcular la ecuación de $u$. Este es el punto donde empecé a preguntarme si todo estaba bien.

Mi enfoque para resolver este sería el uso de la división polinómica pero creo que eso no es el punto del ejercicio.

Answer 1

En primer lugar, podemos soltar $x_0$ , ya que no implica el gráfico de las curvas de cambio, y luego de aplicar las condiciones iniciales.

$$\quad x(t) = t; \quad y(t) = \frac{1}{2}t^2+y_0; \quad u(t)=t+u_0$$

$$y= \frac{1}{2}x^2+y_0; \quad u=x+u_0$$

Ahora $u(3,y)=y^2$, por lo que es $3+u_0=\left(\frac{1}{2}3^2+y_0\right)^2$, nos trae la deseada relación entre el $y_0$ e $u_0$... para deshacerse de ellos!

$y_0=y-\frac{1}{2}x^2; \quad u_0=\left(\frac{1}{2}3^2+y_0\right)^2-3$

$u=x+\left(\frac{1}{2}3^2-\frac{1}{2}x^2+y\right)^2-3$

Answer 2

Su solución $$ u\left( {t + 3,\;t^2 /2 + 3t + s} \right) = s^2 + t $$ es correcto.
Usted sólo tiene que completar por poner $$ \left\{ \matriz{ x = t + 3 \hfill \cr y = {{t^{\,2} } \over 2} + 3t + s = {1 \over 2}t\left( {t + 6} \right) + s = {1 \over 2}\left( {x 3} \right)\left( {x + 3} \right) + s \hfill \cr} \right. $$ y invertir (el truco es convertir $t$ en $x$, sin pasar a través de la raíz cuadrada ..) para obtener $$ \left\{ \matriz{ t = x - 3 \hfill \cr s = s - {1 \over 2}\left( {x 3} \right)\left( {x + 3} \right) = y - {1 \over 2}x^{\,2} + {9 \más de 2} \hfill \cr} \right. $$ y así $$ s^{\,2} + t = \left( {y - {1 \over 2}x^{\,2} + {9 \más de 2}} \right)^{\,2} + \left( {x 3} \right) = u\left( {x,y} \right) $$

Usted puede fácilmente countercheck que usted consigue $$ \left\{ \matriz{ u_{\,x} = 1 + x^{\,3} - 2xy - 9x = 1 + x\left( {x^{\,2} - 2y - 9} \right) \hfill \cr u_{\,y} = - \left( {x^{\,2} - 2y - 9} \right) \hfill \cr} \right. $$ que el respeto a las condiciones dadas $$ \left\{ \matriz{ u_{\,x} + x\,u_{\,y} = 1 \hfill \cr u(3,y) = y^{\,2} \hfill \cr} \right. $$

Answer 3

Es no homogénea así que tenemos dos partes: la solución homogénea y una solución particular.

Para la parte homogénea, utilizamos $v$ como variable. Con las características que se está resolviendo $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1}$, es decir, $y = \frac{1}{2}x^2 + C$. Eso es debido a que $v$ debe ser constante en estas curvas características de $(1,x)$.

Ahora, esto implica que $v$ se basa únicamente en el valor de $C$. Por lo tanto $v(x,y) = f(C)$. Desde $C = y - \frac{1}{2}x^2$, por lo que tenemos $$v(x,y) = f\left(y - \frac{1}{2}x^2\right).$$ Ahora con $v(3,y) = y^2$, obtenemos $f(y-4.5) = y^2$. Sustituyendo $t = y-4.5$ llegamos a $$f(t) = (t+4.5)^2.$$ Por lo tanto, tenemos $$v(x,y) = \left(\left(y - \frac{1}{2}x^2\right) + \frac{9}{2}\right)^2.$$

Para la solución particular, $v_0(x,y) = x$ se ajusta a la ley.

Por lo tanto la solución es $$u(x,y) = v_0(x,y) + v(x,y) = x + \left(\left(y - \frac{1}{2}x^2\right) + \frac{9}{2}\right)^2.$$