Pre - calc problema vuelto difícil, ¿método más fácil para esta fórmula?

Question

Constantemente se me ocurren preguntas de desafío para mis alumnos de pre-cálculo. Hoy se me ha ocurrido esta pregunta, pero al encontrar la respuesta no creo que sea factible para mis alumnos.

Supongamos que durante el mes cero el saldo de su tarjeta de crédito es de $b_0$ . En algún momento durante el mes cero haces el pago mínimo, digamos $p$ . El próximo mes el banco calcula su nuevo saldo en $b_0 - p + I(b_0 - p)$ donde $I$ representa su interés Suponiendo que siempre pagues el mínimo cada mes, $p$ , interés $I$ permanece fija, una función recursiva en el mes $n$ podría venir dada por $f(0) = b_0$ y $f(n) = f(n-1)-p + I(f(n-1) - p)$ para $n \geq 1$ . Encuentre una forma cerrada para t $n$ .

Como siempre, me aseguré de que podía resolver el problema antes de planteárselo a mis alumnos. Mi solución me llevó bastante tiempo. Aquí está la respuesta que se me ocurrió, que posiblemente podría simplificarse aún más:

$$f(n) = \frac{p(1+I)^{n+1} - Ib_0(1+I)^n - P(1+I)}{-I}$$

Mi método consistía en empezar por escribir los primeros términos utilizando la definición recursiva y, a continuación, empezar a reordenar y buscar patrones. Después de un rato fui capaz de detectar y demostrar una expansión binomial, y se produjo una suma geométrica de binomios que da lugar a mi solución. Por el momento no voy a escribir mi derivación completa a menos que se solicite, ya que es largo y en su mayoría sólo símbolo crujido.

Mi pregunta a la comunidad MSE es, ¿alguien tiene derivación de una solución a este problema? No pensé que debería ser tan tedioso cuando se me ocurrió? ¿Existe un método mejor?

Ni siquiera sé cómo etiquetar esto, si alguien tiene alguna buena sugerencia para las etiquetas que me haga saber.

Answer 1

Reescriba la ecuación como $$f_n = f_{n-1}-p + I(f_{n-1} - p)=(1+I)f_{n-1}-(1+I)p$$ $$f_n = \alpha f_{n-1}+\beta\qquad \text{where}\qquad \alpha=1+I\qquad \text{and}\qquad \beta=-(1+I)p $$ $$f_n = \alpha f_{n-1}+\beta\implies f_n =\beta\,\frac{ \alpha ^n-1}{\alpha -1}+c_1\, \alpha ^{n-1}$$ que conduce a $$f_0=\frac {c_1} \alpha=b_0 \implies c_1=\alpha\,b_0 $$ en $$f_n=\beta\,\frac{ \alpha ^n-1}{\alpha -1}+ \alpha ^{n}b_0$$ Ahora, sustituye $\alpha $ y $\beta$ por sus definiciones.

Answer 2

¡Vale! Después de descubrir que este tipo de problema se entiende bien y entra dentro de las "relaciones de recurrencia lineal", me he pasado el día aprendiendo sobre ellas y voy a publicar una solución más detallada como apéndice a la concisa respuesta de Claude de más arriba.

En primer lugar, este problema concreto es un ejemplo de un relación de recurrencia lineal no homogénea . Para resolverlo, utilizaré métodos que requieren saber resolver relaciones de recurrencia lineales homogéneas de la que no me extenderé tanto.

Buscamos una solución (forma cerrada) a la relación $$x_n = (1+I)x_{n-1} - P(1+I), \text{ for } n\geq 1 (*) $$ con valor inicial $x_0 = b_0$ . Este valor inicial determina unívocamente la secuencia $x_n$ . La correspondiente relación de recurrencia lineal homogénea es $$x_n = (1+I)x_{n-1}. (**)$$

Es un teorema que si $\{b_n\}$ es una solución particular de (*) (no necesariamente satisface la condición inicial) y $\{c_n\}$ es la solución genérica de (**) entonces la solución genérica de (*) es de la forma $b_n + c_n$ . Así que buscamos $b_n$ y $c_n$ .

Para $c_n$ utilizamos métodos para resolver relaciones de recurrencia lineales homogéneas en particular encontramos el polinomio característico de (**): \begin{align*} ar^n &= (1+I)ar^{n-1}\\ r &= (1+I)\\ r - (1+I) &= 0.\\ \end{align*}

Las raíces de este polinomio característico son evidentes por inspección así que tenemos la solución general de (**) $$c_n = k(1+I)^n, \text{ for some } k \in \mathbb{R}.$$

Según mis lecturas, encontrar una solución particular $b_n$ parece ser menos sistemático (en general), y parece aconsejable adivinar algo similar al término de control (que en nuestro caso es $-P(1+I)$ . Dado que nuestro término de control es constante supongamos que simplemente adivinamos $b_n = k_2$ ( $k_2$ alguna constante) y utilizar la definición de la relación (*) para resolver dicha constante en caso de que exista. Tenemos:

$$k_2 = (1+I)k_2 - P(1+I) \implies k_2 = \frac{P(1+I)}{I}.$$

Así que fija $b_n = k_2$ entonces formamos la solución general $$x_n = c_n + b_n = k(1+I)^n + \frac{P(1+I)}{I}.$$ Recordando nuestra condición inicial $x_0 = b_0$ evaluamos y resolvemos para $k$ , $$x_0 = k + \frac{P(1+I)}{I} = b_0 \implies k = b_0 - \frac{P(1+I)}{I}$$ .

Sustituyendo de nuevo en nuestra solución general obtenemos nuestra solución final:

$$\left(b_0 - \frac{P(1+I)}{I}\right)(1+I)^n + \frac{P(1+I)}{I} =$$

$$b_0(1+I)^n - \frac{P(1+I)^{n+1}}{I} + \frac{P(1+I)}{I} = x_n.$$

Lo realmente bueno es que ésta es la solución original que encontré por mi cuenta ¡sin ninguna teoría a mi disposición! Hoy me he divertido mucho aprendiendo a resolver estas relaciones de recurrencia.