continua la incrustación entre Hölder espacios de $ C^{0,\beta} \hookrightarrow C^{0, \alpha} .$

Question

Deje $ \Omega \subset \mathbb R^n $ ser un subconjunto abierto y deje $ 0 < \alpha < \beta \leq 1.$ consideramos el espacio de Hölder funciones continuas $C^{0, \alpha}$ que es un espacio de Banach dotado de la norma

$$ \| f\|_{C^{0, \alpha}} := \| f \|_{\infty} + \sup_{ x,y \in \Omega \\ x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}. $$

Mi pregunta tiene que ver con la incrustación $ C^{0,\beta} \hookrightarrow C^{0, \alpha} .$

Si $ \Omega $ es acotado, entonces puedo probar la estimación de $ \| f\|_{C^{0, \alpha}} \leq \text{diam}(\Omega)^{\beta -\alpha} \| f\|_{C^{0, \beta}} ,$, lo que implica que la inclusión es acotado, es decir, continua.

Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar que la inclusión es todavía continua en el caso de que $ \Omega $ es ilimitado ?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Incrustaciones entre el Titular de espacio no se preocupan por el acotamiento del dominio

Evidentemente tenemos $$\sup_{ x,y \in \Omega \\ x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le \sup_{ x,y \in \Omega \\ |x -y|\le1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}+\sup_{ x,y \in \Omega \\ |x -y|\ge1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}$$

Pero desde $|x-y|^\alpha\ge 1$$|x-y|\ge 1$. obtenemos $$\sup_{ x,y \in \Omega \\ |x -y|\ge1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha} \le \sup_{ x,y \in \Omega \\ |x -y|\ge1} |f(x) -f(y)| \le 2\|f\|_\infty$$

mientras que si $|x-y|\le 1$ $0 < \alpha < \beta \leq 1.$

$$|x-y|^{\beta-\alpha}\le1\implies |x-y|^{\beta}\le|x-y|^{\alpha}$$

y, por lo tanto, $$\sup_{ x,y \in \Omega \\ |x -y|\le1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le \sup_{ x,y \in \Omega \\ |x -y|\le1} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\beta}\le \sup_{ x,y \in \Omega \\x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\beta}$$

Claramente se deduce que $$\color{red}{\sup_{ x,y \in \Omega \\ x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\alpha}\le \sup_{ x,y \in \Omega \\ x \neq y} \frac{ |f(x) -f(y)|}{|x-y|^\beta}+2\|f\|_\infty\le 2\|f\|_{C^{0,\beta}}}$$