¿Cómo muestro que hay una copia isométrica de $ \ell_1 $ en $C[0,1]$ ?
Si obtengo una secuencia de funciones $(f_n) \in C[0,1]$ con las siguientes propiedades, entonces he terminado:
¿Esto ayuda? ¿O la prueba no es constructiva?
Cada espacio de Banach seprable se incrusta en $C[0,1]$ isométricamente. Este es el teorema de Banach-Mazur.
Boceto de la prueba. Deje que $X$ ser un espacio separable de Banach y dejar $B_{X^*}$ la bola de la unidad de $X^*$ .
$B_{X^*}$ es débil*-compacto (por el teorema de Banach-Alaoglu ) y metrisable en la topología débil.
El mapa $T \colon X \to C(B_{X^*})$ dado por $Tx = \hat {x}$ ( $x \in X$ ), donde $ \hat {x}(f)= \langle f,x \rangle (f \in B_{X^*})$ es isométrico. Por lo tanto, $X$ se incrusta isométricamente en $C(B_{X^*})$ .
Cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor $ \Delta $ . Deje que $ \varphi\colon \Delta \to B_{X^*}$ ser un continuo la conjetura Entonces el mapa $S \colon C(B_{X^*}) \to C( \Delta )$ dado por $Sf=f \circ \varphi $ ( $f \in C(B_{X^*})$ es isométrico.
$C( \Delta )$ se incrusta isométricamente en $C[0,1]$ por el teorema de la extensión Borsuk-Dugundji.
Me imagino que por $ \ell_1 $ te refieres a la $ \ell ^1$ espacio de secuencias cuya serie es absolutamente convergente. Mi respuesta a continuación se basa en esta suposición.
Considere una secuencia estrictamente creciente $( \alpha_n ) \in [0,1]^{ \mathbb N}$ de tal manera que $ \lim\limits_ {n \to + \infty } \alpha_n =1$ . La secuencia $(1- \frac {1}{n})_{n \in \mathbb N}$ haría el trabajo.
Ahora considera $ \varphi : \ell ^1 \to \mathcal {C}([0,1])$ definido de la siguiente manera para $ \textbf {x}=(x_n) \in \ell ^1$ : $$ \begin {array}{l|rcl} \varphi ( \textbf {x}) : & [0,1] & \longrightarrow & \mathbb R \\ & 0 & \longmapsto & 0 \\ & 1 & \longmapsto & \sum_ {k=1}^{+ \infty } \vert x_n \vert\\ & \alpha_n & \longmapsto & \sum_ {k=1}^n \vert x_n \vert \end {array}$$ y $ \varphi ( \textbf {x})$ es lineal por partes para los otros valores de $[0,1]$ .
$ \varphi $ tiene las siguientes propiedades:
La respuesta de Tomek es, por supuesto, la "correcta", porque el teorema de Banach-Mazur es a la vez hermoso y completamente general. Si uno particulariza su prueba al caso de $ \ell_1 $ uno obtiene una inclusión isométrica explícita de $ \ell_1 $ en $ \mathcal C([0,1])$ de la siguiente manera.
Deje que $K \subseteq [0,1]$ ser el clásico conjunto triádico de Cantor. Cada $t \in K$ puede ser escrito de una y sólo una manera como $$t= \sum_ {n=1}^ \infty \frac { \alpha_n (t)}{3^n} \qquad\hbox {where $ \alpha_n (t) \in \{ 0,2\} $};$$ y a la inversa, cada secuencia $( \alpha_n ) \in\ { 0,2\}^{ \mathbb N}$ define un punto $t \in K$ .
Ahora, para cualquier $u=(u_n)_{n \in\mathbb N} \in \ell_1 $ denotémoslo con $J_0u :K \to \mathbb R$ la función definida por $$J_0u(t)= \sum_ {n=1}^ \infty ( \alpha_n (t)-1) \, u_n\, .$$
No es difícil demostrar que $J_0u$ es una función continua, así que tenemos un mapa $J_0: \ell_1\to\mathcal C(K)$ que es obviamente lineal. Además, $J_0$ es también un isometría porque, como $( \alpha_n )$ varía a lo largo de $\{ 0, 2\}^{ \mathbb N}$ la secuencia $( \alpha_n -1)$ varía a lo largo de $\{ -1,1\}^{ \mathbb N}$ y porque tenemos $$ \Vert u \Vert = \sup\ , \Bigl\ { \sum_ {n=1}^ \infty \varepsilon_n u_n;\; ( \varepsilon_n ) \in\ { -1,1\}^{ \mathbb N} \Bigr\ } \qquad\hbox { for every $ u \in\ell_1 $}.$$
Ahora, para cualquier $u \in\ell_1 $ extender $J_0u$ a una función continua $Ju$ en $[0,1]$ en la forma natural, declarando $Ju$ ser afín en cada intervalo "contiguo" al conjunto de Cantor $K$ . Esto da la incrustación isométrica necesaria $ J:\ell_1\to\mathcal C([0,1])$ .
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