¿De cuántas maneras se pueden colocar nueve personas en tres botes, si en cada bote debemos colocar 3 personas?

Question

La tarea es:

De cuántas maneras se pueden colocar nueve personas en tres botes, si en cada bote debemos colocar 3 personas.

1) $\displaystyle \frac{9!}{3!\times6!}=84$ diferentes trillizos

2) $\displaystyle \frac{84!}{3!\times(84-3)!}=95284$

Pero la respuesta es $1680$ .

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Elegimos $3$ personas fuera de la $9$ para el primer barco, de los restantes $6$ personas que elegimos $3$ personas para el segundo bote y finalmente las 3 personas restantes van en el último bote. Por lo tanto, hay $$ \binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}=\frac{9!}{3!3!3!}=1680 $$ formas.

Answer 2

Lo que hiciste no funciona porque estos $84$ Los trillizos diferentes incluyen todos los trillizos posibles con tres personas diferentes. Por ejemplo $(1,2,3)$ , $(1,2,5)$ y $(1,3,5)$ .

Ahora con el segundo cálculo, $\dfrac{84!}{3!(84-3)!}=95284$ , se calcula el número de formas de elegir tres de ellas $84$ diferentes trillizos. Sin embargo, puede elegir $(1,2,3)$ , $(1,2,5)$ y $(1,3,5)$ . Entonces no se divide a toda la gente entre los botes. Tienes que elegir tres tríos que contengan a las personas del uno al nueve exactamente una vez, y este cálculo no lo tiene en cuenta.

El cálculo correcto está en la otra respuesta de Foobaz John.

Answer 3

Supongamos que los tres barcos son $b1, b2, b3$ . El número de formas de elegir 3 personas para el barco $b1$ es ${9 \choose 3} = 84$ . El número de formas de elegir 3 personas para el barco $b2$ es ${6 \choose 3}=20$ porque podemos elegir a cualquier miembro para este barco excepto a las 3 personas que ya han sido elegidas para $b1$ . Los miembros del tercer bote están ahora determinados de forma única como las 3 personas restantes. Por tanto, el número de formas de colocar a 9 personas en 3 botes distinguibles es ${9 \choose 3} \cdot {6 \choose 3} = 84 \cdot 20 = 1680$ .

Answer 4

Otra forma de llegar a

$$\frac{9!}{3!3!3!}$$

es imaginar la alineación de las nueve personas en todos los órdenes posibles (¡9!); los tres primeros van en el primer bote, los tres siguientes en el segundo, etc. Pero dentro de cada bote, su orden no importa, así que dividimos por 3! por bote. A mí me parece más intuitivo y más fácil de aplicar a casos más complejos. Por ejemplo, distribuir 10 personas entre barcos de tamaño 3, 2 y 5: $10!/3!2!5!$