Es posible convertir una divergente la serie restando una constante?

Question

Esta pregunta vino a mi mente después de aprender acerca de la existencia de Euler Mascheroni constante. Creo que si cada término de la serie es divergente deprimido por una cierta cantidad, entonces tal vez la serie podría llegar a ser convergente. Sin embargo, esto es sólo mi imaginación y si existe un sólido argumento que demuestra que esto es imposible, les agradecería mucho, como yo estaba planeando hacer la investigación sobre este tema.

Answer 1

$(1+\frac12)+(1+\frac14)+(1+\frac18)+\cdots$ sin duda diverge; pero si le resta $1$ de cada término se obtiene la serie convergente $\sum \frac{1}{2^n}$

Answer 2

Considerar la serie de $\sum a_n$.

Si la secuencia de $a_n$ no converge, entonces, independientemente de lo $L$ es, $a_n-L$ no vaya a cero, por lo $\sum (a_n-L)$ todavía diverge.

Supongamos que la secuencia de $a_n$ converge. Deje $L$ ser el límite. A continuación, $a_n-L$ converge a cero. Así que la serie $\sum (a_n-L)$ tiene una probabilidad de convergencia. Pero el ejemplo $\sum\frac{1}{n}$ muestra que, aún así, la serie puede divergir. Y el ejemplo $\sum \frac{1}{n^2}$ muestra que la serie puede converger.

Answer 3

La respuesta es a veces, pero sólo en circunstancias muy específicas. Por ejemplo, es ciertamente funciona cuando la serie es , finalmente, constante, que existe un N y c tales que a_n=c para todo n>N. En este caso, debe quedar claro que la resta de la constante c se traducirá en un número finito, y por lo tanto convergente, sum.

En general, restando una constante no hará nada para cambiar la divergencia. Usted puede considerar el siguiente esquema idea (tenga en cuenta que esto no funciona en general como no se nos permite libremente reorganizar los términos de una divergente, o incluso condicionalmente convergente suma):

$$``\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n-c)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n-\sum\limits_{n=1}^\infty c"$$ Si la serie original fue divergentes, a continuación, ambas series son divergentes aquí (siempre $c\neq0$), y se obtiene un resultado indeterminado (aunque nota: esto no significa que un divergentes resultado - sólo que usted no puede saber lo que está sucediendo en un vistazo).

Answer 4

Pregunta 1: Supongamos $\sum_{k} a_{k}$ es una divergente la serie; ¿existe un número real $c$ tal que $\sum_{k}(a_{k} - c)$ converge?

Como Lucas Hamblin y Gerald Edgar respuestas de la nota, la cuestión se reduce a una variante menor de "un (general), la serie infinita converge?"

Una obvia es necesario condición es $(a_{k}) \to c$; los propios términos debe acercarse a un finito, no-cero límite, por lo que la secuencia de "deprimido" términos de $(b_{k}) = (a_{k} - c)$ enfoques $0$. La respuesta a la Pregunta 1 es por lo tanto: Sí, si y sólo si

1. $\lim\limits_{k\to\infty} a_{k} = c$ existe, y

2. $\sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_{k} - c)$ converge.

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A riesgo de poner palabras en su boca, motivado por la de Euler-Mascheroni constante, uno podría estar tentado a relajarse Pregunta 1.

Pregunta 2: Supongamos $\sum_{k} a_{k}$ es una divergente la serie; ¿existe una verdadera secuencia $(c_{k})$ tal que $\sum_{k}(a_{k} - c_{k})$ converge?

La respuesta es, obviamente, sí; tome $\sum_{k} b_{k}$ a cualquier convergente la serie, y poner $c_{k} = a_{k} - b_{k}$.

Answer 5

No, no siempre. Considere la posibilidad de $1+2+3+4+\dotsb$; esto diverge no importa lo que la constante de restar de los términos. Que es: $$(1-c)+(2-c)+(3-c)+(4-c)+\dotsb$$ siempre diverge.