demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional utilizando sólo la geometría

Question

Demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional utilizando sólo conceptos geométricos y pruebas. La prueba debe parecerse a una prueba en los elementos de Euclides o geometría estándar de secundaria. No se permite el álgebra.

(Conozco una prueba - Estoy interesado en ver cuántas hay).

Answer 1

Sea $\triangle ABC$ sea un triángulo rectángulo isósceles, con hipotenusa $|BC|=a$ y piernas $|AB|=|AC|=b$ . Si $\sqrt{2}$ es racional, podemos escalar adecuadamente nuestro triángulo para suponer que $a$ y $b$ son números enteros con $\gcd(a,b)=1$ .

Considere el punto $D$ en la hipotenusa que está a una distancia $b$ lejos de $B$ y trazar una perpendicular desde este punto hasta $\overline{AC}.$ Sea $E$ sea el punto de encuentro de la perpendicular $\overline{AC}$ . Entonces por semejanza de triángulos $\triangle ABC\sim\triangle DEC$ tenemos $|DC|=|DE|=a-b$ y por triángulos congruentes $\triangle ABE\cong\triangle DBE$ tenemos $|AE|=a-b$ para que $|EC|=2b-a$ . Se deduce de nuevo por triángulos similares que:

$$\frac{a}{b}=\frac{2b-a}{a-b}$$

Esta proporción contradice $\gcd(a,b)=1$ .

Answer 2

No es exactamente lo que busca, pero creo que merece la pena mencionarlo.

El argumento utilizado en este artículo de Marty Ross y Burkhard Polster da una interpretación geométrica a la prueba estándar por contradicción. Atribuyen la idea a John Conway.

Answer 3

Aquí está en los Elementos de Euclides (supongo que lo quieres traducido, no en el griego original):

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVIII/propVIII8.html