¿Sacks forzar preservar GCH?

Question

Suponga $V\vDash \mathsf{GCH}$, y deje $G$ ser el genérico de Sacos de forzamiento (también conocido como árbol perfecto forzar, ver Jech ch. 15). Es cierto $V[G]\vDash \mathsf{GCH}$?

Es bastante simple para mostrar que $V[G]$ satisface $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$ todos los $\alpha > 0$, utilizando el concepto de 'buen nombres' [véase la definición en el Kunen VII 5.11]. En resumen, existen en la mayoría de las $\aleph_2$ posible antichains, por lo que en la mayoría de los $\aleph_2^\lambda$ diferentes agradable nombres de los subconjuntos de a $\lambda$. Para $\lambda\geq\aleph_1$ esto es igual a $\lambda^+$, y por lo $(2^\lambda=\lambda^+)^{V[G]}$.

Así que la cuestión se reduce a si $V[G]\vDash\mathsf{CH}$?

Answer 1

Sí, sacos forzando conservas$\mathsf{CH}$. Esto se desprende del argumento habitual que muestra que la extensión de Sacks es mínima. Se puede leer esa prueba para establecer que si$f$ es un real nuevo (visto como una función de$\omega$ a$2$), hay un mapa continuo en el modelo de suelo cuya interpretación natural en la extensión envía los Sacks genéricos a$f$.