¿Cómo se demuestra la fórmula explícita de Riemann?

Question

P: ¿Existe una referencia para una prueba detallada de La fórmula explícita de Riemann ?

Estoy leyendo el Versión TeXificada del manuscrito de Riemann, pero a veces no puedo seguirlo (creo que el autor ha guardado erratas del papel original ).

Estos son algunos puntos con los que tengo problemas (pero hay otros) :

• ¿Cómo calcula $$\int_{a+i\mathbb{R}} \frac{d}{ds} \left( \frac{1}{s} \log(1-s/\beta)\right) x^s ds$$ en la página 4 ?

• ¿Qué debo saber sobre $Li(x)$ para ver cómo los términos $Li(x^{1/2+i\alpha})$ ¿aparece?

Answer 1

Recomiendo la lectura del excelente libro de Edwards Función Zeta de Riemann (es barato ) ya que detalla cada parte del artículo de Riemann (¡con pruebas más rigurosas, por supuesto!).

En cuanto a su segunda pregunta, véase página 27 del libro de Edwards.
Sobre el $\mathrm{Li}$ probablemente no necesitarás más que la información de Wikipedia.
Lo que realmente se requiere para entender la prueba de Riemann es un buen conocimiento de la integración compleja (el venerable Whittaker y Watson puede ser útil para esto).

Answer 2

Respondiendo a la pregunta del título, no al cuerpo, la fórmula explícita de Riemann se enuncia en la página 244 de Stopple, A Primer of Analytic Number Theory, y se discute en las siguientes páginas. Por cierto, se considera que Riemann sólo dio una "prueba heurística", siendo la primera prueba rigurosa la que dio von Mangoldt en 1895.