Es " $K$ convexo + absorbente $\not\Rightarrow$ $0\in \mathrm{Int }\, K$ ¿"dependiente de la CA"?

Question

He encontrado el siguiente problema en el "Funktionalanalysis" de Dirk Werner (traducción al inglés por mí):

Definición: Un conjunto convexo $K\subset X$ se llama absorbente, si se da $x\in X$ existe $\lambda>0$ tal que $\lambda x\in K$ .

Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial normado. Si $K$ es convexo, ¿es necesariamente cierto que " $K$ absorbiendo $\implies$ $0 \in \mathrm{Int }K$ "?

Si $X$ sólo se supone que es un espacio normado (no de Banach), entonces creo que $X = L^1[0,1]\cap L^\infty[0,1]$ equipado con el $L^1$ -norma, y $K = \{f\in X\mid \Vert f\Vert_\infty \le 1\}$ da un contraejemplo. $K$ es claramente absorbente y convexo, pero podemos encontrar una secuencia $f_n \in X$ con $\Vert f_n\Vert_1 = 1/n \to 0$ et $\Vert f_n\Vert_{\infty} = 2$ para todos $n$ . Así que no hay bola alrededor $0$ puede estar contenida en $K$ .

También traté de encontrar un contraejemplo, donde $X$ es Banach. Esto parecía mucho más difícil. Hasta ahora sólo he podido encontrar un contraejemplo bajo el supuesto de la existencia de un funcional lineal no continuo: Si $f$ es tan funcional en $X$ , set $K = \{x\in X\mid |f(x)|\le 1\}$ . Entonces $K$ es convexo y absorbente, pero $\mathrm{Int }K = \emptyset$ . Esto nos lleva a preguntarnos si el axioma de elección es necesario para construir un contraejemplo en espacios de Banach o no.

Pregunta: ¿Existe un ejemplo explícito (es decir, uno cuya construcción no implique el axioma de elección) de un conjunto convexo $K$ que es absorbente, pero no contiene $0$ en su interior?

Answer 1

Estoy asumiendo escalares reales. Supongamos que $K$ es un conjunto de este tipo. Entonces $K \cap (-K)$ es otro conjunto de este tipo que también está equilibrado, por lo que podemos suponer $K$ está equilibrada. Del mismo modo, como la intersección de $K$ con un balón alrededor $0$ es de nuevo absorbente, podemos suponer $K$ está acotado. Sea $p$ sea el funcional de Minkowski de $K$ es decir $p(x) = \inf \{t > 0: x/t \in K\}$ . Entonces $p$ es una norma en $X$ y $\{x: p(x) < 1\} \subseteq K \subseteq \{x: p(x) \le 1\}$ . El hecho de que no haya una pelota alrededor $0$ contenida en $K$ dice que $p$ no es continua. El mapa de identidad de $X$ (con su norma original) a $X$ con la norma $p$ (que denotaré como $X_p$ ) es entonces un operador lineal discontinuo. Sea $B^*_p$ sea la bola unitaria cerrada de $X_p^*$ es decir, el conjunto de todas las funciones lineales $\phi$ en $X$ tal que $|\phi(x)| \le p(x)$ para todos $x$ ). Si cada uno de estos $\phi$ es continua (con respecto a la norma original), entonces por el Principio de Acotamiento Uniforme habría alguna $R$ tal que $|\phi(x)| \le R \|x\|$ para todos $\phi \in B_p^*$ et $x \in X$ . Pero entonces $p(x) = \sup_{\phi \in B_p^*} |\phi(x)| \le R \|x\|$ et $p$ es continua, contradicción. Así que debemos concluir que algún $\phi \in B^*_p$ es discontinua, es decir, que existe una función lineal discontinua en $X$ .