Ayuda de forma normal de smith

Question

Quiero encontrar la estructura de la abelian grupo: $$G=\frac{\mathbb{Z}^{3}}{\langle (2,0,10),(0,4,8),(4,-4,12) \rangle}$$ La forma normal de Smith la matriz asociada a $G$ es: $$P= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right),$$ lo cual es correcto (verificado con el software). Por lo tanto, la descomposición de la $G$ como una suma directa de grupos cíclicos es $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}$ sí? por qué la respuesta es $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, yo.e ¿por qué el extra sumando $\mathbb{Z}$?. Pensé que sólo nos fijamos en los elementos de la diagonal de a $P$ que en este caso sólo hay tres: $2,4,0$.

¿Qué estoy haciendo incorrecta? Por favor puede explicar?

Answer 1

Estás en lo correcto de que la descomposición de la $G$$\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}$. Si el equipo está diciendo que la respuesta es $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, la explicación más probable es que la matriz de $G$ fue de alguna manera transpuesto en algún momento de su cálculo. Por ejemplo, si originalmente entró en la transpuesta de la matriz original para $G$, entonces se puede obtener la transpuesta de la Smith forma normal.

Tenga en cuenta que no hay establecido un convenio por el cual la dirección de una matriz de presentación para un grupo abelian debe ir. En algunos libros (y en algunos programas de ordenador), las filas corresponden a los generadores y las columnas corresponden a las relaciones, mientras que en otros libros (y los programas de ordenador) el presente convenio se invierte.