Acerca de la continuidad absoluta$\Rightarrow$ null set map to null set

Question

He buscado mucho en este sitio y he encontrado muchas preguntas que mencionan este resultado, pero no una sola prueba. Intenté probarlo yo mismo y fallé.

Entonces, lo pregunto aquí: ¿cómo se puede demostrar que si$f:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}$ es absolutamente continuo, entonces para cada conjunto$A \subseteq[a,b]$ con la medida lebesgue$0$,$f(A)$ también tiene la medida lebesgue$0$?

Answer 1

Deje $N \subset (a,b)$ ser un null conjunto y deje $\epsilon > 0$.

Seleccione $\delta > 0$ correspondiente a la definición de continuidad absoluta y deje $O \subset [a,b]$ ser un conjunto abierto con $m(O) < \delta$. Existe una contables de la familia $\{(a_k,b_k)\}$ de distinto abrir los intervalos de con $O = \bigcup_k (a_k,b_k)$.

Desde $f$ es continua en cada una de las $[a_k,b_k]$ existen puntos de $c_k,d_k \in [a_k,b_k]$ que $f$ alcanza su infimum y supremum, respectivamente. Esto significa que $f([a_k,b_k]) = [f(c_k),f(d_k)]$, de modo que $$m^*(f((a_k,b_k))) = |f(d_k) - f(c_k)|.$$

Desde $\sum_k |c_k - d_k| \le \sum_k |a_k - b_k| = m(O) < \delta$ $$\sum_k |f(d_k) - f(c_k)| < \epsilon$$ by absolute continuity. Consequently $$m^*(f(O)) = m^*( f(\bigcup_k (a_k,b_k)) \le \sum_k m^*(f((a_k,b_k)) < \epsilon.$$

En particular, si $O$ es un conjunto abierto con $N \subset O \subset (a,b)$ $m(O) < \delta$ $$m^*(f(N)) \le m^*(f(O)) < \epsilon.$$

Ya que esto es válido para cualquier $\epsilon > 0$ se sigue que $m^*(f(N)) = 0$ como se desee.