Intentando simplificar$\frac{\sqrt{8}-\sqrt{16}}{4-\sqrt{2}} - 2^{1/2}$ en$\frac{-5\sqrt{2}-6}{7}$

Question

Me piden simplificar $\frac{\sqrt{8}-\sqrt{16}}{4-\sqrt{2}} - 2^{1/2}$ y estoy siempre con la solución de $\frac{-5\sqrt{2}-6}{7}$

He intentado varios métodos y no pudo. Aquí está una ruta que tomé:

(Voy a tratar de simplificar el lado izquierdo de la fracción de primero y, a continuación, tratar con el $-2^{1/2}$ más tarde)

$\frac{\sqrt{8}-\sqrt{16}}{4-\sqrt{2}}$ La raíz de 16 es 4, y la raíz de 8 podría ser escrito como $2\sqrt{2}$ así:

$\frac{2\sqrt{2}-4}{4-\sqrt{2}}$

No muy seguro de a dónde ir desde aquí, así que he intentado multiplicar las radicales en el denominador:

$\frac{2\sqrt{2}-4}{4-\sqrt{2}}$ = $\frac{2\sqrt{2}-4}{4-\sqrt{2}} * \frac{4+\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}$ = $\frac{(2\sqrt{2}-4)(4+\sqrt{2})}{16-2}$ =

(Puedo ser menos cierto, que en mi trabajo aquí)

$\frac{8\sqrt{2}*2(\sqrt{2}^2)-16-4\sqrt{2}}{14}$ = $\frac{8\sqrt{2}*4-16-4\sqrt{2}}{14}$ = $\frac{32\sqrt{2}-16-4\sqrt{2}}{14}$ = $\frac{28\sqrt{2}-16}{14}$

A continuación, vuelva a agregar la $-2^{1/2}$ que también se puede escribir como $\sqrt{2}$

Esto es lo más lejos que pueda conseguir. No sé si $\frac{28\sqrt{2}-16}{14}-\sqrt{2}$ aún es correcta o cerca de la solución. ¿Cómo puedo llegar a $\frac{-5\sqrt{2}-6}{7}$?

Answer 1

$$ \begin{align} \frac{\sqrt{8}-\sqrt{16}}{4-\sqrt{2}}-\sqrt{2}&=\frac{2\sqrt{2}-4}{4-\sqrt{2}}-\sqrt{2}\\ &=\frac{2\sqrt{2}-4}{4-\sqrt{2}}-\frac{4\sqrt{2}-2}{4-\sqrt{2}}\\ &=\frac{-2\sqrt{2}-2}{4-\sqrt{2}}\\ &=\frac{-2\sqrt{2}-2}{4-\sqrt{2}}~\cdot~\frac{4+\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}\\ &=\frac{-10\sqrt{2}-12}{14}\\ &=\frac{-5\sqrt{2}-6}{7} \end {align} $$

Answer 2

Que estaba haciendo bien hasta el lugar donde se trató de ampliar $(2\sqrt2 - 4)(4 + \sqrt2).$

Hay técnicas mnemotécnicas para esto, pero creo que el viejo y simple distributiva ley funciona bastante bien: \begin{align} (2\sqrt2 - 4)(4 + \sqrt2) &= (2\sqrt2 - 4)4 + (2\sqrt2 - 4)\sqrt2 \\ &= (8\sqrt2 - 16) + (4 - 4\sqrt2) \\ &= 4\sqrt2 - 12. \end{align}

Siguiente, usted podría notar una oportunidad para cancelar un factor de $2$ en el numerador y el denominador de $\frac{4\sqrt2 - 12}{14}.$

Y, finalmente, tendrá que cambiar el $-\sqrt2$ así que tienes dos fracciones con un denominador común, y puede terminar.

Answer 3

\begin{align} \frac{\sqrt{8}-\sqrt{16}}{4-\sqrt{2}} - 2^{1/2} & = \frac{2\sqrt{2}-4}{4-\sqrt{2}}\cdot \frac{4+\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} - \sqrt{2} \\ & = \frac{4\sqrt{2}-12}{14} - \sqrt{2} \\ & = \frac{2\sqrt{2}-6}{7} - \sqrt{2} \\ & = \frac{2\sqrt{2}-6 -7 \sqrt{2}}{7}\\ & = \frac{-5\sqrt{2} -6 }{7} \end{align}