Maximizar el área de un trapecio cíclico cuya base larga es el circundiámetro. ¿Solución no trigonométrica?

Question

Una semicircunferencia de radio R engloba un trapecio isósceles tal que la base grande del trapecio es el diámetro de la circunferencia que lo engloba.

En términos de R, ¿cuál es la longitud de la base más pequeña de todos los posibles trapecios descritos, cuya área es máxima?

Después de algunos intentos del problema, he conseguido resolverlo utilizando la trigonometría del círculo unitario, pero tengo curiosidad por saber si hay soluciones puramente geométricas para esto (que es lo que estaba tratando de encontrar cuando intenté el problema por primera vez).

Esta es mi solución:

Dejemos que $x$ sea $\measuredangle AOD$
Dejemos que $h$ sea la altura del trapecio
Supongamos que $0 < x < 90^\circ$

$$h = AO\sin x = R\sin x$$ $$AB = 2AO\cos x = 2R\cos x$$

Fórmula del área del trapecio: $$\frac{AB + DC}{2} \cdot h $$ $$\downarrow$$ $$S_{(x)} = \frac{2R\cos x + 2R}{2} \cdot R\sin x$$

A partir de aquí, encontramos la derivada de nuestra función, obtenemos la $x$ para el que hay un máximo, y lo introducimos en nuestra definición de AB para obtenerlo en términos de R, que sería AB = R.

¿Hay alguna alternativa?

Answer 1

No necesitas ninguna trigonometría aquí.

Enfoque elegante: Intenta pensar de forma diferente. Hazte una pregunta más general:

De todos los cuadriláteros $ABCD$ inscritas en un semicírculo de diámetro AB, ¿cuál tiene el área máxima?

Lo demostraremos para el cuadrilátero óptimo:

$$BC=CD=DA=R\tag{1}$$

Supongamos que (1) no es cierto. En otras palabras, supongamos que el cuadrilátero óptimo $ABCD$ se ve como en la imagen de arriba y $AD\neq CD$ . Encontrar el punto $D'$ en el arco AC tal que $AD'=CD'$ .

Tenga en cuenta que el triángulo $\triangle ACD'$ tiene mayor superficie que $\triangle ACD$ porque $h_{D'}>h_{D}$ . Así que obviamente:

$$P_{ABCD}=P_{ABC}+P_{ACD}<P_{ABC}+P_{ACD'}<P_{ABCD'}$$

Así que cuadrialteral $ABCD$ tiene una superficie menor en comparación con $ABCD'$ y no puede ser óptimo. En otras palabras, si (1) no es cierto, siempre podemos encontrar un cuadrilátero con un área mayor. En consecuencia, el cuadrilátero de mayor área debe tener los lados $BC$ , $CD$ y $DA$ de longitudes iguales que sólo es posible si (1) es cierto.

Y tal cuadrialteral es también un trapecio. Cualquier otro cuadrilátero, sea trapezoide o no, debe tener un área menor.

Un enfoque no tan elegante, pero todavía sin trigonometría :

Denote la altura del trapecio con $h$ y la longitud de la base menor con $b$ :

Tienes que maximizar la siguiente expresión:

$$A=\frac{(2R+b)h}2$$

...o:

$$B=A^2=\left(R+\frac b2\right)^2h^2\tag{1}$$

...con la siguiente restricción:

$$h^2=R^2-\left(\frac b2\right)^2\tag{2}$$

Reemplaza (2) en (1) y obtendrás:

$$B=\left(R+\frac b2\right)^2\left(R^2-\left(\frac b2\right)^2\right)$$

$$B=\left(R+\frac b2\right)^3\left(R-\frac b2\right)$$

Para simplificar, introduzca la expresión $c=R+\frac b2$ :

$$B(c)=c^3(2R-c)$$

$$B'(c)=3c^2(2R-c)-c^3=0\implies c=\frac{3R}2\implies b=R$$