Encuentre $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^1f(x^n)dx$

Question

Dejemos que $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función continua.

1. Demuestre que para cada $\epsilon\in(0,1)$ , $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_0^{1-\epsilon}f(x^n)dx=(1-\epsilon)f(0)$
2. Encuentre $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int\limits_{0}^{1}f(x^n)dx$ .
   Sugerencia: Comience por explicar por qué $f$ está acotado.

Por mi respuesta: ,
He hecho la primera parte utilizando el hecho de que \begin {align*} \left | \int\limits_ {0}^{1- \epsilon }f(x^n)dx-(1- \epsilon )f(0) \right | \leq \int\limits_0 ^{1- \epsilon }|f(x^n)-f(0)|dx \end {align*} Y con la continuidad de $f$ a cero junto con $x^n\leq(1-\epsilon)^n\rightarrow0$
Pero para la segunda parte lo que veo es que: \begin {align*} \lim\limits_ {n \rightarrow\infty } \int\limits_ {0}^{1}f(x^n)dx &= \lim\limits_ {n \rightarrow\infty } \lim\limits_ { \epsilon\rightarrow0 } \int\limits_ {0}^{1- \epsilon }f(x^n)dx \end {align*} Pero después si necesito hacer uso de la parte (1) entonces tengo que intercambiar los límites. Entonces, ¿es posible? Si es así, me gustaría saber cuáles son las condiciones que debemos tener para tal intercambio.
Además, me gustaría tener una opinión sobre la pista dada. (¿Por qué se da?)

Answer 1

Bien, permítanme exponer un principio de análisis que será muy útil en numerosos problemas.

La interversión es dolorosa.

O bien hay un argumento directo ("lógicamente tautológico", es decir, que no requiere ningún análisis) para hacerlo, o bien requiere pensar todo el razonamiento con argumentos más elaborados (como alguna forma de convergencia uniforme).

Así que ahora, dejemos $M$ sea un límite para $f$ . Sea $\epsilon >0$ . Le sugiero que demuestre que

$$\left|\int_0^1{f(x^n)}-f(0)\right| \leq \left|\int_0^{1-\epsilon}{f(x^n)}-(1-\epsilon)f(0)\right| + M\epsilon + \epsilon |f(0)|. $$

Así, para cada $n$ lo suficientemente grande $$\left|\int_0^1{f(x^n)}-f(0)\right| \leq 3M\epsilon$$ .

Answer 2

Otro enfoque utiliza el teorema del valor medio para las integrales. En efecto, el conjunto $g_n(x)=f(x^n).$ Entonces, hay una secuencia $(c_n)\subseteq (0,1-\epsilon)$ tal que $\int\limits_0^{1-\epsilon}g_n(x)dx=g_n(c_n)(1-\epsilon)=f(c^n_n)(1-\epsilon).$ Entonces, $c_n^n\to 0$ como $n\to \infty$ y así $f(c_n^n)\to f(0).$

En cuanto a la segunda parte, hay que tener en cuenta que $\int_0^1f(x^n)\,dx=\int_0^{1-\epsilon}f(x^n)\,dx+\int_{1-\epsilon}^1f(x^n)\,dx,$ así que sólo tenemos que considerar la segunda integral. Pero como $g_n$ está acotada, podemos aplicar el teorema de convergencia dominada para escribir $\lim \int_{1-\epsilon}^1f(x^n)\,dx=\int_{1-\epsilon}^1f(0)dx=\epsilon f(0)$ .

Por lo tanto, $\lim \int_0^1f(x^n)\,dx= f(0).$

Answer 3

Como $f$ es continua en $0$ , dado $c>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(0)|<c$ siempre que $|x|<\delta$ . Así que elige $n_0$ tal que $(1-\epsilon)^{n_0}<\delta$ . Entonces, para cualquier $x<1-\epsilon$ y $n\geq n_0$ tenemos $x^n<\delta$ Entonces $|f(x^n)-f(0)|<c$ . Entonces \begin {align} (1- \epsilon )(f(0)-c)&= \int_0 ^{(1- \epsilon )}(f(0)-c)\Nde la que se trata, dx \leq\int_0 ^{1- \epsilon }f(x^n)\Nde, dx \leq \int_0 ^{(1- \epsilon )}(f(0)+c)\N-\N-, dx \\ \ \\ &=(1- \epsilon )(f(0)+c). \end {align} Como podemos hacer esto para todos $c>0$ obtenemos $$ \lim_{n\to\infty} \int_0^{1-\epsilon}f(x^n)\,dx=(1-\epsilon)f(0) $$

Para la segunda parte, porque $f$ es continua y $[0,1]$ es compacto, $f$ está acotado, digamos $a\leq f(x)\leq b$ para todos $x$ . Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ , $$ \int_0^1f(x^n)\,dx=\int_0^{(1-\epsilon)}f(x^n)\,dx+\int_{(1-\epsilon)}^1f(x^n)\,dx. $$ Para la segunda integral, $$ \epsilon\, a\leq \int_{(1-\epsilon)}^1f(x^n)\,dx\leq \epsilon\, b. $$ Entonces $$ \limsup_n\int_0^1f(x^n)\,dx= (1-\epsilon)f(0)+\int_{(1-\epsilon)}^1f(x^n)\,dx\leq(1-\epsilon)f(0)+\epsilon\,b. $$ Como esto funciona para todos $\epsilon>0$ , $$\tag1 \limsup_n\int_0^1f(x^n)\,dx\leq f(0). $$ De la misma manera, $$ \liminf_n\int_0^1f(x^n)\,dx= (1-\epsilon)f(0)+\int_{(1-\epsilon)}^1f(x^n)\,dx\geq(1-\epsilon)f(0)+\epsilon\,a. $$ Como esto funciona para todos $\epsilon>0$ , $$\tag2 \liminf_n\int_0^1f(x^n)\,dx\geq f(0). $$ Ahora $(1)$ y $(2)$ juntos implican que ese $\lim_n\int_0^1f(x^n)\,dx$ existe y que $$ \lim_n\int_0^1f(x^n)\,dx=f(0). $$

Answer 4

Así que has conseguido demostrar que para cada $\varepsilon\in(0,1)$ lo consigues: $$ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^{1-\varepsilon}f(x^n)\,{\rm d}x=(1-\varepsilon)f(0) $$ Así que para cada $\varepsilon\in(0,1)$ ahora puedes ver lo siguiente: $$ \int\limits_0^1f(x^n)\,{\rm d}x=\int\limits_0^{1-\varepsilon}f(x^n)\,{\rm d}x+\int\limits_{1-\varepsilon}^1f(x^n)\,{\rm d}x$$ Dado que usted sabe que $f$ está acotada (una función continua en un intervalo cerrado) se sabe que existe algún $M>0$ tal que: $$ \forall x\in(0,1),-M\leq f(x)\leq M $$ Así que puedes mostrar que para el segundo intervalo obtienes: $$ -M\varepsilon\leq\int\limits_{1-\varepsilon}^1f(x^n){\rm d}x\leq M\varepsilon $$ O en otras palabras: $$ \int\limits_0^{1-\varepsilon}f(x^n)\,{\rm d}x-M\varepsilon\leq \int\limits_0^1f(x^n)\,{\rm d}x\leq \int\limits_0^{1-\varepsilon}f(x^n){\rm d}x+M\varepsilon $$ Tomando los límites de todos los lados como $n\to\infty$ se obtiene utilizando la primera parte: $$(1-\varepsilon)f(0)-M\varepsilon\leq\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1f(x^n)\,{\rm d}x\leq(1-\varepsilon)f(0)+M\varepsilon $$ Por último, tomando el límite $\varepsilon\to 0$ te da el resultado: $$ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1f(x^n)\,{\rm d}x=f(0) $$

Answer 5

Otro enfoque sería utilizar alguna teoría de la medida:

Claramente para todos $x \in [0,1-\epsilon)$ tenemos que $x^n \to 0$ como $n \to \infty$ y por lo tanto $f(x^n) \to f(0)$ por continuidad para todos esos $n$ . Ahora bien, como la integral de Riemann existe, es igual a la integral de Lebesgue;

$lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1-\epsilon}f(x^n)dx = lim_{n \to \infty}\int_{[0,1-\epsilon]}f(x^n)d\lambda(x) =_{(1)} \int_{[0,1-\epsilon]}f(0)d\lambda(x) = (1-\epsilon)f(0)$ ya que $f$ está dominada por la constante $sup_{x \in [0,1]}\{|f(x)|\}<\infty$ y, por tanto, el Teorema de convergencia dominada implica (1). El mismo argumento sirve para la segunda parte de tu pregunta, ya que $f(x^n) \to f(0)$ para todos $x \in [0,1)$ y $\{1\}$ es un conjunto nulo de Lebesgue, por lo que no cambia el valor de nuestra integral; eso da como resultado $lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}f(x^n)dx = f(0)$