Representación dual irreducible

Question

Para un semisimple Mentira Álgebra $\mathfrak{g}$ con Cartan Subalgebra $\mathfrak{t}$, vamos a $V(\lambda)$ ser el único irreductible mayor peso del módulo con mayor peso, $\lambda$.

Se me pide que muestran que la representación dual $V(\lambda)^*$ es irreductible, y que se dé una condición para $V(\lambda)$ a ser auto dual.

Para la primera parte, mis pensamientos son que si puedo tomar una base de $V(\lambda)^*$ y muestran que la órbita de uno de ellos bajo la acción de $\mathfrak{t}$ contiene a todos ellos, entonces tal vez me gustaría hacer. Pero tal vez por esto me gustaría realmente tiene que demostrar que para cualquier base general?

Para la segunda parte he escuchado que la condición es si o no $-1$ está en el grupo de Weyl, pero como mi comprensión de Álgebras de Lie es bastante débil, no estoy seguro de por qué el grupo de Weyl es importante aquí. Agradecería cualquier ayuda que usted podría ser capaz de ofrecer, gracias!

Answer 1

Para deduce irreductibilidad de $V(\lambda)^*$, usted realmente no tiene que ir a los cocientes. Dado un subespacio invariante $W\subset V(\lambda)^*$ consideran que su annihilator $U:=\{v\in V(\lambda):\forall\phi\in W:\phi(v)=0\}$. Esto es claramente un subespacio lineal en $V(\lambda)$ y un breve cálculo muestra que la invariancia de $W$ implica invarianza de las $U$. Conocer el $U=V(\lambda)$ e $U=\{0\}$ son las únicas posibilidades para $U$, álgebra lineal muestra que $W=\{0\}$ o $W=V(\lambda)^*$.

Sobre el peso máximo de $V(\lambda)^*$ toma de base para $V(\lambda)$ consta de peso vectores y considerar la base dual de $V(\lambda)^*$ a la conclusión de que el peso de $V(\lambda)^*$ son exactamente los negativos de los pesos de los $V(\lambda)$. En particular, el mayor peso de $V(\lambda)^*$ es $-\mu$, donde $\mu$ es el peso más bajo de $V(\lambda)$. Se puede demostrar que $\mu=w_0(\lambda)$, donde $w_0$ es el llamado "elemento más larga" en el grupo de Weyl. (Hay casos en los que $w_0=-id$ y, a continuación, cualquier $V(\lambda)$ es isomorfo a su doble, pero en general puede suceder que $w_0(\lambda)=-\lambda$ y, por tanto, $V(\lambda)\cong V(\lambda)^*$ sin $w_0$ ser $-id$).