Condición equivalente para la funcionalidad a través de funciones positivas en$\ell^p(\Gamma)$

Question

Deje $\Gamma$ ser una contables grupo discreto y deje $C_\lambda^*(\Gamma)$ denotar el correspondiente grupo reducido $C^*$-álgebra.

En [Teorema De 2.6.8., BO08] los autores demostrar la siguiente equivalencia:

(1) $\Gamma$ es susceptible de (2) existen positivo funciones definidas $(\varphi_n)_n\subset c_c(\Gamma)$ convergentes pointwise a 1.

En [Nota 2.3., BG13] los autores afirman lo siguiente: Para $\Gamma$ ser susceptibles es suficiente que existen positivo funciones definidas $(h_n)_n \subset \ell^p(\Gamma)$ convergentes pointwise a 1.

Su razonamiento es a lo largo de estas líneas:

Deje $k>p$. A continuación, $h_n^k\in \ell^1(\Gamma)\subseteq C_\lambda^*(\Gamma)$ y estas funciones son positivas y definitiva de estas funciones también convergen pointwise a uno. Ahora, para cada $h_n^k$ considerar de forma compacta las funciones soportadas ${(f_n)}_m$ que se aproximan a la raíz cuadrada de la $h_n^k$ en la norma de $C_\lambda^*(\Gamma)$. Tenemos finitely apoyado positivo funciones definidas $f_n^* \ast f_n$ que se aproximan a $h_n^k$ y convergen pointwise a 1.

No sé en qué sentido la raíz cuadrada que se quiere decir aquí. Yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera dar una explenation, una sugerencia o una referencia, algo realmente como estoy bastante perdido.

Edit: Lo que me he encontrado hasta ahora es la noción de un "convolución de la raíz cuadrada" que parece haber sido introducido por Godement en 1948 (para el caso general de localmente compacto grupos): Cada positivo-definida, de cuadrado integrable la función en $\Gamma$ tiene una raíz cuadrada: es de la forma $g \ast g$, $g^* = g \in \ell^2(\Gamma)$. Yo no hablo francés, y parecen ser incapaces de encontrar cualquier reproducción de este resultado en la literatura más reciente. Es que lo que debería ser aplicada aquí? ¿Cómo se podría probar esto para los contables discretos caso?

Estoy muy triste de que sólo tengo preguntas y no tienen ninguna entrada mí mismo. Muchas gracias de antemano.

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[BG13] Marrón y Guentner, "Nueva $C^*$-Terminaciones de los grupos discretos y espacios relacionados"

[BO08] Marrón y Ozawa, "$C^*$-Álgebras y Fnite Dimensiones Aproximaciones"

Answer 1

Recordemos primero que cualquier positiva definida la función de $\varphi$ está dado por $\varphi(g) = \langle \xi, \pi(g) \xi \rangle$ para algunos representación unitaria $\pi: \Gamma \to U(H_\varphi)$. A ver esta que acabo de observar que la siguiente forma cuadrática más de $\ell^1(\Gamma)$ es positiva $$ \langle f, f \rangle_\varphi = \langle \varphi, f^\ast \ast f \rangle = \sum_{h} \sum_{g} \varphi(g^{-1} h) \overline{f(g)} f(h) $$ Luego tomar la finalización de $\ell^1(\Gamma)$ con respecto a la raíz cuadrada de esa forma cuadrática para obtener un espacio de Hilbert $H_\varphi$ y denotan por $\pi$ la representación dada por la izquierda de la traducción. Es fácil comprobar que $$ \varphi(g) = \langle \delta_e, \delta_g \rangle_\varphi = \langle \delta_e, \pi(g) \delta_e \rangle_\varphi. $$ Para los detalles de esta construcción sólo echa Folland [Fo].

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Ahora, tenemos que ver que si $\varphi \in \ell^1(\Gamma)$, entonces usted puede tomar la representación de los ser $\lambda$ e $H_\varphi$ a $\ell_2(\Gamma)$ sin pérdida de generalidad. Aquí es un boceto. Ver que $$ \langle f, f \rangle_\varphi = \sum_{h} \sum_{g} \varphi(g^{-1} h) \overline{f(g)} f(h) \leq \| \varphi \|_1 \| f \|_2 \| f \|_2 = \| \varphi \|_1 \langle f, f \rangle. $$ Por el Lax-Milgram teorema que implica que hay un operador $V$, $\| V \| \leq \| \varphi \|^\frac12_1$ tal que $\langle f, f \rangle_\varphi = \langle V f, V f \rangle$. El hecho de que $\pi$ es unitaria te dan ese $V^\ast V$ viajes con traducciones de izquierda y usted puede tomar $V$ a viajar demasiado, por lo tanto: $$ \varphi(g) = \langle \delta_e, \pi(g) \delta_e \rangle_\varphi = \big\langle V(\delta_e), \lambda(g)V(\delta_e) \big\rangle. $$ La última expresión es $f^\ast \ast f$ para $f = V(\delta_e)$

[Fo] Folland, Gerald B., Un curso en resumen el análisis armónico, los Estudios en Matemáticas Avanzadas. Boca Raton, FL: CRC Press. viii, 276 p. (1995). ZBL0857.43001.