Dejemos que $T: \mathcal S(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R)$ definido por $$Tf(x)=f'(x),$$ donde $\mathcal S(\mathbb R)$ es el espacio de Schwarz en $\mathbb R$ . La pregunta es: ¿existe una extensión continua a $L^2(\mathbb R)$ y la respuesta es no, porque $\frac{\|Tf_k\|}{\|f_k\|}\to \infty $ donde $f_k(x)=e^{-k|x|},$ y por lo tanto $T$ no tiene límites.
Verás el ejemplo aquí
1) ¿Por qué es un contraejemplo ya que $e^{-k|x|}\notin \mathcal S(\mathbb R)$ ? e incluso no es derivable en $0$ Así que $f'(x)$ no está bien definida en $\mathbb R$ ¿lo es? Porque en $L^2(\mathbb R)\setminus \mathcal S(\mathbb R)$ el operador $T$ puede ser diferente de $Tf(x)=f'(x)$ ? (por ejemplo la transformada de fourier no es la misma en $\mathcal S(\mathbb R)$ que en $L^2(\mathbb R)$ .
2) Justo debajo del ejemplo del enlace anterior, dicen que la existencia de operadores no limitados definidos en todas partes no es constructiva y se basa en el teorema de Hahn-Banach . ¿Podría alguien explicar qué es lo que ocurre? Supongo que aquí ilimitado significa no continuo ? (y no definido en un subespacio del dominio).
