¿Cuál es el significado matemático de esta pregunta?

Question

$a,b,c \in\mathbb{Z}$ y $x\in\mathbb{R}$ entonces la siguiente expresión es siempre cierta:

$$(x-a)(x-6)+3=(x+b)(x+c)$$

Hallar la suma de todos los valores posibles de $b$ .

A) $-8$

B) $-12$

C) $-14$

D) $-24$

E) $-16$

No entendí cuál es el significado de "...siempre es verdad" .

Aunque no entiendo la pregunta, he escrito esto:

$$(x-a)(x-6)+3=(x+b)(x+c) \Rightarrow x=\frac{6a-bc+3}{6+a+b+c}$$

Toma, $b$ puede tomar un número infinito de valores. ¿O me he perdido algo? Por ejemplo, que los valores aleatorios $a=100,b=50,c=3$ entonces $x=\frac {151}{53}$ .

¿Hay algún problema con la pregunta?

Answer 1

Para responder a la pregunta explícita, "¿Hay algún problema con la pregunta?", la respuesta es Sí, está redactada de una forma extraña y sin sentido. (Creo que por eso el Dr. Sonnhard Graubner dejó un comentario preguntando por la fuente de la pregunta: ¿se reprodujo textualmente, o el OP parafraseó el problema?). Una versión mejor sería algo así

Consideremos el conjunto de triples $(a,b,c)\in\mathbb{Z^3}$ para la cual la ecuación

$$(x-a)(x-6)+3=(x+b)(x+c)$$

es válido para $x\in\mathbb{R}$ . Halla la suma de todos los $b$ ' estos triples.

Answer 2

La pregunta está mal formulada. Debería decir algo así:

$a,b,c$ son números enteros tales que la siguiente ecuación se cumple para $x\in\Bbb R$ :

etc.

Answer 3

Dos polinomios que son siempre iguales sobre los reales son exactamente iguales. En este caso, como $x$ puede variar, mientras que $a,b,c$ son fijos, se trata de dos polinomios en $x$ .

Para que sean iguales, los coeficientes de $x$ también deben ser iguales. Por lo tanto, \begin{align} -a-6&=b+c\\ 6a+3&=bc. \end{align} Ahora, puede resolver $a$ en la primera ecuación y sustituir en la segunda ecuación, obteniendo $$ 6(-b-c-6)+3=bc. $$ El problema entonces es, ¿para qué números enteros tiene solución esta ecuación?

Si se resuelve para $b$ aquí, obtendrá una fracción en $c$ que puedes estudiar para averiguar qué enteros para $c$ dan como resultado números enteros para $b$ .

El problema con su solución para $x$ es que el denominador de tu fracción es cero.