¿Cuál es la principal diferencia entre la convergencia puntual y la uniforme, tal y como se define aquí?

Question

Tengo una pequeña confusión aquí. He visto lo siguiente varias veces y parece que estoy un poco confundido en cuanto a diferenciarlos.

Dejemos que $E$ sea un subconjunto no vacío de $\Bbb{R}$ . Una secuencia de funciones $\{f_n\}_{n\in \Bbb{N}},$ converge puntualmente a $f$ en $E$ si y sólo si \begin{align}f_n(x)\to f(x),\;\forall\,x\in E.\end{align}

Por otro lado $\{f_n\}_{n\in \Bbb{N}},$ converge uniformemente a $f$ en $E$ si y sólo si \begin{align}f_n(x)\to f(x),\;\forall\,x\in E.\end{align}

PREGUNTA:

¿Por qué es $f_n(x)\to f(x),\;\forall\,x\in E,$ se utiliza tanto para la convergencia uniforme como para la puntual o me estoy perdiendo algo importante? ¿No podemos distinguirlas?

Answer 1

$f_n$ converge puntualmente significa para cada $c>0$ por cada $x$ existe $N(x)$ tal que $n>N(x)$ implica que $|f_n(x)-f(x)|<c$

$f_n$ converge uniformemente significa que para cada $c>0$ existe $N$ tal que para cada $x$ , $n>N$ implica que $|f_n(x)-f(x)|<c$ .

En la simple convergencia, $N(x)$ depende de $x$ pero para la convergencia uniforme uno $N$ se elige para cada $x$ .

Answer 2

Convergencia uniforme es en realidad $\mathcal L^\infty$ convergencia, es decir $$ f_n \rightrightarrows f [x \in E]\!\! \iff \!\! \sup_{x \in E} \vert f_n - f\vert(x) \to 0[n \to \infty]. $$ Esto es estrictamente más fuerte que convergencia puntual .

Alternativamente, la convergencia uniforme implica la convergencia puntual, por lo que $f_n \to f$ en ambos casos.

Answer 3

Lo siento, pero sí, probablemente te estés perdiendo algo importante, porque la segunda afirmación de tu post

Por otro lado $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformemente a $f$ en $E$ si y sólo si $$f_n(x)\to f(x),\;\forall\,x\in E.$$

es falso. Sin ver tu fuente, es imposible decir qué ha pasado aquí, de dónde ha salido esta afirmación errónea y qué es exactamente lo que te falta.

¿Estás seguro de que la fuente dice if and only if ¿aquí? Esto es ciertamente NO la definición de convergencia uniforme (a diferencia de su primera afirmación, que sí es una definición de convergencia puntual, a menos que queramos ampliarla en $\varepsilon/\delta$ -). Podría tratarse de un teorema que afirma que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual, lo cual es un teorema verdadero, pero SOLO en esta dirección, por lo que no puede decir if and only if .

Lo mejor es consultar la fuente original para saber qué dice exactamente.

Answer 4

Lo que has escrito está en realidad mal formado, y por eso es completamente erróneo. En ninguna parte has especificado o cuantificado $n$ en " $f_n(x) → f(x)$ , $∀x∈E$ ". Además no nunca usen símbolos como " $∀$ ", a menos que los utilices correctamente (los cuantificadores deben ir siempre delante de la afirmación cuantificada).

$f_n → f$ punto de vista como $n→\infty$ si ( $f_n(x)-f(x) → 0$ como $n→∞$ ) para cada $x∈E$ .

$f_n → f$ uniformemente como $n→\infty$ si $\sup_{x∈E} |f_n(x)-f(x)| → 0$ como $n→∞$ .

En un caso, la convergencia puede proceder de manera diferente para diferentes $x∈E$ . En el otro caso la norma sup entre $f_n$ y $f$ (sobre todo $x∈E$ ) debe tender a cero, lo que intuitivamente significa que la convergencia debe proceder uniformemente para todo $x∈E$ .

De ninguna manera es posible expresar correctamente la convergencia uniforme con la expresión que has utilizado, por lo que lo más probable es que no hayas copiado realmente la definición o la notación que te han dado.

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En forma puramente lógica: $ \def\nn{\mathbb{N}} \def\rr{\mathbb{R}} $

$f_n → f$ punto de vista como $n→\infty$ si $∀x∈E\ ∀ε∈\rr_{>0}\ ∃k∈\nn\ ∀n∈\nn_{≥k}\ ( |f_n(x)-f(x)| < ε )$ .

$f_n → f$ uniformemente como $n→\infty$ si $∀ε∈\rr_{>0}\ ∃k∈\nn\ ∀n∈\nn_{≥k}\ ∀x∈E\ ( |f_n(x)-f(x)| < ε )$ .

Este es un caso de intercambio de cuantificadores (restringido). Es un hecho lógico básico que uno implica al otro, fácilmente resumido como " $∃∀ ⇒ ∀∃$ ", pero la implicación inversa puede no ser válida.

Answer 5

@xbh ha señalado que esas no son las definiciones formales de convergencia puntual y uniforme. Puedes buscar esas definiciones, así que espero ilustrar su diferencia con un ejemplo intuitivo: la interpolación polinómica.

Supongamos que queremos aproximar $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + 25 x^2}$ con un polinomio.

Dejemos que $p_n(x)$ sea el polinomio de grado $n-1$ que interpola $f(x)$ en $n$ nodos igualmente espaciados en [-1, 1]. El gráfico siguiente sugiere que $p_n(x)$ converge punto de vista a $f(x)$ en el intervalo (-1, 1) pero diverge en los puntos finales -1 y 1.

Dejemos que $q_n(x)$ sea el polinomio de grado $n-1$ que interpola $f(x)$ en $n$ Nodos de Chebyshev en [-1, 1]. El gráfico siguiente sugiere que $q_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ en el intervalo [-1, 1].

Puede generar el gráfico anterior con más nodos:

import numpy as np
from numpy.polynomial.polynomial import polyfit, Polynomial
import matplotlib.pyplot as plt
xs = np.linspace(-1, 1, 256)
def f(x): return 1.0 / (1 + 25 * x**2)

N = 16
nodes = np.cos(np.linspace(0, N, N) * np.pi / N)
interp = Polynomial(polyfit(nodes, f(nodes), N - 1))
plt.plot(xs, f(xs), "--", label = "$f(x) = (1 + 25 x^2)^{-1}$")
plt.plot(xs, interp(xs), "-", label = "$q_n(x)$")
plt.plot(nodes, f(nodes), "o")
plt.legend(frameon = False)
plt.show()