He relacionados con dos proposiciones que parecen intuitivamente correcta, pero yo lucho para probar correctamente.
Pregunta 1
Demostrar o refutar: Si $X$ e $Y$ son independientes y tienen las mismas distribuciones marginales, a continuación, $\mathbb{P} (Y > X) = \mathbb{P} (X > Y) = 1/2$
Debido a la independencia, la articulación PDF de $X$ e $Y$ es el producto de sus marginal PDF:
$$ \begin{align} \mathbb{P} (Y > X) &= \int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty p(x) \, p(y) \, dy \, dx \\ \mathbb{P} (X > Y) &= \int_{-\infty}^\infty \int_y^\infty p(x) \, p(y) \, dx \, dy = \int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty p(y) \, p(x) \, dy \, dx \end{align} $$
El último paso se basa en el hecho de que la integral no va a cambiar si nosotros simplemente cambiar el nombre de los parámetros de integración de $x$ e $y$ constantemente. Así hemos demostrado que $\mathbb{P} (Y > X) = \mathbb{P} (X > Y)$
Nota: Incluso si $X$ e $Y$ son dependientes, este resultado aún se mantiene tanto tiempo como su articulación PDF es intercambiable, es decir, $p(x, y) = p(y, x)$
Deje $u = y - x$ , de modo que
$$ \mathbb{P} (Y > X) = \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty p(x) \, p(u + x) \, du \, dx $$
Pensé en la aplicación del teorema de Fubini, pero no ayuda a demostrar que es igual a 1/2, así que tal vez no 1/2?
Como alternativa, considere la posibilidad de que
$$ \mathbb{P} (Y > X) + \mathbb{P} (X > Y) + \mathbb{P} (Y = X) = 1 $$
Si asumimos que $\mathbb{P} (Y = X) = 0$ entonces podemos concluir que $\mathbb{P} (Y > X) = 1/2$. Pero esta suposición justificado?
Pregunta 2
Demostrar o refutar: Si $X$ e $Y$ son independientes y $\mathbb{P} (Y > X) = \mathbb{P} (X > Y)$, entonces ellos tienen las mismas distribuciones marginales. Si esta afirmación es verdadera, entonces es verdadera si $X$ e $Y$ son dependientes?
@Xi'an proporcionado un contra-ejemplo. Supongamos que
$$ \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \begin{bmatrix} \mu \\ \mu \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & c \\ c & \sigma_2^2 \end{bmatrix} \right)$$
A continuación, $X-Y$ e $Y-X$ tienen la misma distribución: $\mathcal{N} \left(0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2c \right)$ y, por tanto, $\mathbb{P} (Y - X > 0) = \mathbb{P} (X - Y > 0)$
Sin embargo, las distribuciones marginales de $X \sim \mathcal{N} \left(\mu, \sigma_1^2\right)$ e $Y \sim \mathcal{N} \left(\mu, \sigma_2^2\right)$ puede ser diferente. Este resultado se da independientemente de si $X$ e $Y$ son independientes.