5 votos

Distribuidos de forma idéntica vs P (X> Y) = P (Y> X)

He relacionados con dos proposiciones que parecen intuitivamente correcta, pero yo lucho para probar correctamente.

Pregunta 1

Demostrar o refutar: Si $X$ e $Y$ son independientes y tienen las mismas distribuciones marginales, a continuación, $\mathbb{P} (Y > X) = \mathbb{P} (X > Y) = 1/2$

Debido a la independencia, la articulación PDF de $X$ e $Y$ es el producto de sus marginal PDF:

$$ \begin{align} \mathbb{P} (Y > X) &= \int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty p(x) \, p(y) \, dy \, dx \\ \mathbb{P} (X > Y) &= \int_{-\infty}^\infty \int_y^\infty p(x) \, p(y) \, dx \, dy = \int_{-\infty}^\infty \int_x^\infty p(y) \, p(x) \, dy \, dx \end{align} $$

El último paso se basa en el hecho de que la integral no va a cambiar si nosotros simplemente cambiar el nombre de los parámetros de integración de $x$ e $y$ constantemente. Así hemos demostrado que $\mathbb{P} (Y > X) = \mathbb{P} (X > Y)$

Nota: Incluso si $X$ e $Y$ son dependientes, este resultado aún se mantiene tanto tiempo como su articulación PDF es intercambiable, es decir, $p(x, y) = p(y, x)$


Deje $u = y - x$ , de modo que

$$ \mathbb{P} (Y > X) = \int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty p(x) \, p(u + x) \, du \, dx $$

Pensé en la aplicación del teorema de Fubini, pero no ayuda a demostrar que es igual a 1/2, así que tal vez no 1/2?

Como alternativa, considere la posibilidad de que

$$ \mathbb{P} (Y > X) + \mathbb{P} (X > Y) + \mathbb{P} (Y = X) = 1 $$

Si asumimos que $\mathbb{P} (Y = X) = 0$ entonces podemos concluir que $\mathbb{P} (Y > X) = 1/2$. Pero esta suposición justificado?

Pregunta 2

Demostrar o refutar: Si $X$ e $Y$ son independientes y $\mathbb{P} (Y > X) = \mathbb{P} (X > Y)$, entonces ellos tienen las mismas distribuciones marginales. Si esta afirmación es verdadera, entonces es verdadera si $X$ e $Y$ son dependientes?

@Xi'an proporcionado un contra-ejemplo. Supongamos que

$$ \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \begin{bmatrix} \mu \\ \mu \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & c \\ c & \sigma_2^2 \end{bmatrix} \right)$$

A continuación, $X-Y$ e $Y-X$ tienen la misma distribución: $\mathcal{N} \left(0, \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2c \right)$ y, por tanto, $\mathbb{P} (Y - X > 0) = \mathbb{P} (X - Y > 0)$

Sin embargo, las distribuciones marginales de $X \sim \mathcal{N} \left(\mu, \sigma_1^2\right)$ e $Y \sim \mathcal{N} \left(\mu, \sigma_2^2\right)$ puede ser diferente. Este resultado se da independientemente de si $X$ e $Y$ son independientes.

4voto

Lev Puntos 2212

Esta respuesta está escrito bajo el supuesto de que $\mathbb{P}(Y=X)=0$ que fue parte de la redacción original de la pregunta.

Pregunta 1: Una condición suficiente para$$\mathbb{P}(X<Y)=\mathbb{P}(Y<X)\tag{1}$$is that $X$ and $S$ are exchangeable, that is, that $(X,Y)$ and $(Y,X)$ tienen la misma distribución conjunta. Y, obviamente, $$\mathbb{P}(X<Y)=\mathbb{P}(Y<X)=1/2$$since they sum up to one. (In the alternative case that $\mathbb{P}(Y=X)>0$ esta es, obviamente, ya no es cierto.)

Pregunta 2: Tomar un vector normal bivariante $(X,Y)$ , con una media de $(\mu,\mu)$. A continuación, $X-Y$ e $Y-X$ son idénticamente distribuidas, no importa lo que la correlación entre el $X$ e $Y$, y no importa lo que las variaciones de $X$ e $Y$ , y por lo tanto (1) posea. La conjetura es, pues, falso.

2voto

Trevor Boyd Smith Puntos 133

Voy a mostrar que la distribución de los par $(X,Y)$ es la misma que la distribución de los par $(Y,X).$

Que dos variables aleatorias $X,Y$ son independientes significa que para cada par de conjuntos medibles $A,B$ eventos $[X\in A], [Y\in B]$ son independientes. En particular, para cualquiera de los dos números de $x,y$ eventos $[X\le x], [Y\le y]$ son independientes, por lo $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)\cdot F_Y(y).$

Y la distribución de los par $(X,Y)$ está totalmente determinado por el conjunto c.d.f.

Desde que se da eso $F_X=F_Y,$ podemos escribir $F_{X,Y}(x,y) = F_X(x)\cdot F_X(y).$

Este es simétrica como una función de la $x$ e $y,$ es decir, sigue siendo el mismo si $x$ e $y$ son intercambiados.

Pero intercambiando $x$ e $y$ en $F_{X,Y}(x,y)$ es el mismo que intercambiar $X$ e $Y,$desde $$ F_{X,Y}(x,y) = \Pr(X\le x\ \&\ Y\le y). $$

Por lo tanto, (el principal punto):

La distribución de los par $(X,Y)$ es la misma que la distribución de los par $(Y,X).$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X