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Question

He encontrado esta serie de Jack D'Aurizio del Superior de las Matemáticas desde un Punto Elemental de Ver en su página de usuario. Por lo que he visto series similares a este, así que pensé que traté de hacer telescopio. Me las arreglé para escribir con la diferencia fórmula para $\arctan\left(x\right)$ así,

\begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty} \arctan\left(\frac{1}{8n^{2}}\right) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \left[\vphantom{\large A}\arctan\left(4n + 1\right) -\arctan\left(4n - 1\right)\right] \\[1mm] & = \sum_{n = 1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\arctan\left(2n + 1\right) \end{align}

La escritura de la serie que a pesar de que no parece ayudar ya que ninguno de los términos cancelar el uno con el otro. ¿Qué debo hacer encontrar la respuesta ?.

Answer 1

Podemos calcular esta suma considerándola como el argumento de un producto infinito. Aquí el argumento del factor n del producto es $-\text{arctan}(1/8n^2)$ .

$$ \begin{align*} \sum_{n=1}^\infty\text{arctan}\left(\frac{1}{8n^2}\right) &=-\text{arg}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{i}{8n^2}\right) \\ &= -\text{arg}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\left(\sqrt{i/8}\right)^2}{n^2}\right)\\ &=-\text{arg}\frac{\sin\left(\pi\sqrt{i/8}\right)}{\pi\sqrt{i/8}},\qquad\text{by Euler's product for the sine} \\ &=-\text{arg}\left(\frac{(1-i)\sqrt{2}\cosh(\pi/4)}{\pi}+\frac{(1+i)\sqrt{2}\sinh(\pi/4)}{\pi}\right) \\ &=-\text{arctan}\left(\frac{\sinh(\pi/4)-\cosh(\pi/4)}{\sinh(\pi/4)+\cosh(\pi/4)}\right) \\ &= \text{arccot}\left(e^{\pi/2}\right). \end {align *} $$