$A \in \mathbb{C}^{m\times n}$,$A=FG^*$ y$r(A)=r(F)=r(G)$. Probar$A^\dagger = G(F^*AG)^{-1}F^*$ y$A^\dagger = (G^\dagger)^*F^\dagger$

Question

Deje $A^\dagger$ ser una de Moore-Penrose de la inversa de una matriz $A$.

Si $A \in \mathbb{C}^{m\times n}$ e $A=FG^*$, para algunas de las $F,G$ e $r(A)=r(F)=r(G)$, demostrar que $$A^\dagger = G(F^*AG)^{-1}F^*$$ and $$A^\dagger = (G^\dagger)^*F^\dagger.$$

Necesito mostrar esta utilizando la descomposición SVD y tal vez algunas otras propiedades de Moore-Penrose inversa.

Traté de mostrar la declaración por escrito de la descomposición SVD de todas las matrices incluido, pero sólo consigue sucio y no tuve éxito.

Cualquier sugerencias sería realmente útil! Gracias de antemano!

Answer 1

Igualdades son técnicamente falso. La primera de ellas es falsa, porque en general, $F^\ast AG$ no es necesariamente no-singular. Para el segundo, es fácil generar un contraejemplo al azar cuando se $F,G$ son "gordos" de las matrices con más columnas que filas.

Sin embargo, ambas igualdades son verdaderas cuando se $F$ e $G$ son "altos" matrices de columna completa de las filas y de las mismas dimensiones. En este caso, tenemos $(F^\ast AG)^{-1}=(F^\ast FG^\ast G)^{-1}=(G^\ast G)^{-1}(F^\ast F)^{-1}$ e $F^\dagger F=G^\dagger G=I$. Ahora usted puede fácilmente demostrar que $A^\dagger=G(G^\ast G)^{-1}(F^\ast F)^{-1}F^\ast=(G^\dagger)^\ast F^\dagger$ mediante la verificación de la cuatro a la definición de propiedades de Moore-Penrose pseudoinverse directamente.