Razona si es cierto que:

Question

Es cierto que $\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty \implies \lim_{x \to a}f'(x) = \pm\infty$?

Aquí, $f$ es una función definida en algún intervalo abierto $I$, e $a\in I$. Suponga $f$ es continua en a$a$ y diferenciable en torno a $a$.

Yo no puedo por la vida de mí ver cómo demostrar que\refutar esta implicación, pero mi sensación es que es falso. Cualquier orientación es muy apreciado.

Answer 1

La afirmación es falsa. Considere la posibilidad de $$ g(x)=\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}+x^{1/4},\qquad x>0, $$ y definir $f$ a $\mathbb R$por $$ f(x)=\begin{cases}g(x) & \text{for }x>0, \\ 0 & \text{for }x=0, \\ -g(-x) & \text{for }x<0.\end{casos} $$ A continuación, $f$ es continua en todas partes, diferenciable en a$\mathbb R\backslash\{0\}$ y satisface $f(-x)=-f(x)$. Por otra parte, para $x>0$, \begin{align*} \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\sin\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3/4}}\geq-\frac{1}{x^{1/2}}+\frac{1}{x^{3/4}}\longrightarrow+\infty,\quad\text{as }x\to0+. \end{align*} Debido a la simetría, el mismo es cierto para $x<0$ e $x\to0-$. Por lo tanto, $f(x)/x\to+\infty$ como $x\to0$.

Ahora, para $x>0$, $$ f'(x)=\frac{x^{3/4}+x 2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)-4 \cos \left(\frac{1}{x}\right)}{4 x^{3/2}}. $$ Sin embargo, el límite de $\lim_{x\to0+}f'(x)$ incluso no existe. Para $x_n:=1/(n\pi)$ hemos \begin{align*} f'(x_n)=\frac{\pi ^{3/4}}{4 \left(\frac{1}{n}\right)^{3/4}}-\frac{\pi ^{3/2} (-1)^n}{\left(\frac{1}{n}\right)^{3/2}}, \end{align*} y por lo $f'(x_{2n})\to-\infty$, mientras que $f'(x_{2n+1})\to+\infty$.