Las cuatro curvas del Dragón cubren los bordes/el plano

Question

Cuatro curvas Dragón que se generen hacia el exterior desde el mismo vértice atravesarán cada arista de una cuadrícula exactamente una vez (y, como consecuencia, también serán planas).

Me cautiva este hecho y, en cierto modo, sospecho que existe una explicación sencilla y esclarecedora. Sin embargo, si no es así, ¿alguien puede dirigirme a un recurso donde se discuta esto en detalle?... No puedo encontrar los artículos originales de Chandler y Donald J. Knuth. "Number representations and dragon curves", en jstor.org :(

Aquí hay algunos enlaces rápidos de referencia:

http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve

Históricamente, las Curvas del Dragón fueron descubiertas en 1969 por dos ingenieros de la NASA que se interesaron por el patrón que se producía al doblar un trozo de papel repetidamente y luego desplegarlo de forma que todos los pliegues se manifestaran como ángulos rectos, una construcción fundamental que creo que es parte de la clave para entender intuitivamente todas estas propiedades...

Answer 1

Aquí está la regla de sustitución que genera la curva del dragón. Sustituye cada flecha por dos flechas rotadas más pequeñas con orientaciones particulares.

Si aplicamos la misma regla de sustitución a esta cuadrícula infinita de flechas, resulta que obtenemos una copia girada más pequeña de la misma cuadrícula. Después de ver que ocurre una vez, es obvio que seguirá ocurriendo infinitas veces.

Ahora podemos colorear cuatro flechas de la cuadrícula inicial y ver cómo se convierten en cuatro dragones:

Hemos generado exactamente la cifra que has publicado. Pero esta construcción deja claro por qué tienen que encajar de esta manera: cada flecha de la cuadrícula debe utilizarse exactamente una vez.