Sobre el número de raíces del polinomio $x^3+Ax^2+1=0$

Question

Tengo la siguiente ecuación cúbica

$$x^{3}+Ax^{2}+1=0$$

donde $A$ es un número arbitrario (real).

Eso tampoco lo sé:

• Las 3 raíces serán reales.
• Una raíz será real y las otras dos serán ser conjugados complejos entre sí.

Me gustaría averiguar

• ¿Por qué valor/valores de A las raíces cambian de 3 raíces reales a una real y dos raíces complejas.
• Los signos de cada una de las raíces reales (tanto cuando todas son reales como cuando sólo hay una raíz real)

¿Hay una forma analítica de encontrar esto en función de $A$ o la única opción es resolver el cúbico numéricamente?

Answer 1

Si podemos mostrar que el valor de $A$ cambia la cantidad de máximos o mínimos de 1 a 2 de tal manera que un extremo está en positivo $y$ -y el otro a cero o negativo. $y$ -localización, entonces sabemos que este valor de $A$ es la frontera de todas las soluciones reales frente a 1 solución real y 2 soluciones complejas.

Denota $f(x) = x^3 + Ax^2 + 1.$

$$f'(x) = 3x^2+2Ax=x(3x+2A) = 0.$$

Vemos que $f(0)$ es siempre un máximo o mínimo local y $f(0) > 0.$ El otro cero está dado por $x = -2A/3 = \xi. $

Necesitamos $f( \xi ) \leq 0.$

$$f( \xi ) = \frac {4}{27}A^3 + 1 \leq 0$$

resuelve para los valores de $A$ donde se garantizan 3 soluciones reales.

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Si hay 3 raíces reales, entonces desde $x = 0$ es siempre un extremo local, al menos uno tiene que ser positivo y otro negativo. Además, si $A \leq -3/ \sqrt [3]{4}$ y la ubicación del extremo móvil es $x=-2A/3 > 0,$ entonces la raíz real restante tiene que ser positiva.

Si sólo hay una raíz real, entonces $A > -3/ \sqrt [3]{4}$ y el extremo móvil está situado en $x < \sqrt [3]{2}.$ Por lo tanto, la única raíz real debe ser negativa.

Answer 2

pista

Ponga $$A=- \frac 32B$$ y $$f(x)=x^3- \frac 32Bx^2+1.$$

$$f'(x)=3x(x-B).$$

$$f(0)=1$$ para tener tres raíces reales, necesitamos

$$B>0 \text { and } f(B)<0.$$

Answer 3

Los puntos estacionarios de $f(x)$ se encuentran en $x=0$ y en $x=- \frac {2A}{3}$ y el signo de $$ f(0)f \left (- \tfrac {2A}{3} \right ) = 1+ \tfrac {4}{27}A^3$$ decide si hay tres raíces reales (<0), una raíz real simple (>0) o una raíz real doble y una raíz real simple (=0). Esto sucede desde el signo de $ f(0)f \left (- \tfrac {2A}{3} \right )$ sólo depende de que los valores estacionarios tengan el mismo signo o no.

Answer 4

Demasiado tarde en la fiesta. Pero se ve bien, así que entremos de todos modos.

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TL;DR $ \quad f(x)=x^3+Ax^2+1\,$ siempre tiene un simple cero en el eje negativo. Los otros dos ceros son

• real, positivo y distinto, si $\,A<-1.88988\:=\:- \dfrac {3}{ \sqrt [3]{4}}\:=\:A_1$
• fusionándose en un doble cero en $x= \sqrt [3]{2}$ si $\,A=A_1$
• no real (por lo tanto complejo-conjugado), si $\,A>A_1$

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El donante de la fiesta también preguntó si hay una forma analítica de encontrar esto en función de $A$ ?
Demos un paso en esta dirección, concentrándonos en el caso de "un cero real", y expresemos el cero negativo en función de $A$ :
Deje que $\,d= \big ( \frac A3 \big )^3 + \big ( \frac 12 \big )^2$ y asumir $d>0$ que corresponde a $\,A>A_1$ . Defina $$r \:=\: \left (- \frac 12 - \sqrt d \right )^ \frac 13 +\, \left (- \frac 12 + \sqrt d \right )^ \frac 13\,,$$ $r\,$ se observa que es estrictamente negativo. Entonces $$ \begin {align} r^2\:= & \; \left (- \frac 12 - \sqrt d \right )^ \frac 23 +\, \left (- \frac 12 + \sqrt d \right )^ \frac 23 - \frac23 A \\ [2ex] r^3\:= & \; - \frac23 Ar + \left (- \frac 12 - \sqrt d \right ) +\, \left (- \frac 12 + \sqrt d \right ) \\ & \quad - \frac13 A \left\ { \left (- \frac 12 - \sqrt d \right )^ \frac 13 +\, \left (- \frac 12 + \sqrt d \right )^ \frac 13 \right\ } \\ = & -Ar - 1 \end {align}$$ De donde $$1+Ar+r^3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad\frac1 {r^3}+A \frac1 {r^2}+1 =0 \\ [2ex] \Longrightarrow\quad x \:=\: \frac1r \:=\: -r^2-A \:=\: - \frac13 A - \left ( \sqrt d + \frac 12 \right )^ \frac 23 -\, \left ( \sqrt d - \frac12\right )^ \frac 23 $$ satisface $x^3+Ax^2+1=0$ .

Añadido en Edición: Impulsado por el comentario del usuario 2175783 a continuación, encontré la conferencia 4 en Ómnibus matemático: 30 conferencias sobre matemáticas clásicas por D. Fuchs + S. Tabachnikov: Da un extenso y legible relato de cómo resolver explícitamente las ecuaciones cúbicas y cuarcíticas.

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Visual TL;DR

Answer 5

El discriminante de un polinomio cúbico con coeficientes reales es $0$ cuando el polinomio tiene dos (o más) raíces iguales, positivo cuando hay tres raíces reales distintas, y negativo cuando hay una raíz real y dos no reales. En su caso es $-4 A^3 - 27$ .