¿Cómo puedo probar que$\int _{-1}^{1} \frac{1}{x} dx =0 $

Question

Según WolframAlpha $\int _{-1}^{1} \frac{1}{x} dx =0 $ . Pero, ¿cómo se puede demostrar esto con rigor? Sé que la función es impar, pero no tiene límites en $[-1;1]$ . La fórmula de Leibniz-Newton tampoco se puede aplicar aquí. Realmente agradecería alguna ayuda con este asunto.

Answer 1

Esto no se puede probar rigurosamente porque no es técnicamente cierto.

El valor principal de Cauchy de su integral es $0$ , pero si vuelve a la definición de la integral de Riemann incorrecta, encontrará que esta cantidad no está definida.

Answer 2

La integral es divergente debido a que $f(x)=\frac 1x$ no está definido en $x=0$ . Sin embargo, si consideramos el valor principal de la integral, entonces la respuesta es cero. También estoy asumiendo que esto es lo que Wolfram Alpha da.

Para probar esto, divida la integral sobre sus partes positivas y negativas, reemplace el cero por una variable y téngala hacia cero. PS