¿Es legítimo especificar un enunciado como un teorema si se demuestra utilizando métodos numéricos (ya que no se puede demostrar analíticamente)?

Question

Tengo una afirmación que se "demuestra" mediante métodos numéricos (en particular, utilizando simulaciones), ya que no es posible demostrarla analíticamente. ¿Es legítimo articular esta afirmación como un teorema, si no se demuestra analíticamente? Si no, ¿cómo debería llamarlo?

P.D. Más detalles sobre la declaración.

Tengo algún proceso de generación de datos y necesito demostrar que los datos generados en función de alguna variable tienen algunas propiedades. Por ejemplo, tengo $x^1,...,x^n$ datos generados (n=100000) y necesitan demostrar que la función $x(\gamma)$ es positiva definida sobre el dominio. Por lo tanto, sobre los datos generados aplico la técnica de interpolación para construir la función y compruebo la propiedad.

Answer 1

En general, los métodos numéricos no constituyen pruebas. Si todo lo que tenemos es una función desconocida de caja negra $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ del que no sabemos nada, y todo lo que podemos hacer es calcular su valor en (finitamente) muchos puntos, entonces simplemente no podemos demostrar que $f$ es positivo.

Sin embargo, en casos concretos, podríamos tener argumentos basados en métodos numéricos que son válidos. Típicamente, tendríamos que hacer una aproximación numérica, y luego probar, utilizando métodos no numéricos que nuestra aproximación numérica es lo suficientemente precisa para que se cumpla el teorema. Por lo tanto, la forma en que los métodos numéricos pueden ayudarnos a demostrar un enunciado es muy específica.

Tomemos, por ejemplo, el siguiente problema: demostrar que $f(x) = x^2 + 1 > 0 \ \forall x \in [-1, 1]$ .

Prueba inválida: Calculamos $f(x)$ en $10^{10^{10000}}$ puntos aleatorios y se utilizó la interpolación lineal entre ellos. Aquí hay un gráfico. Podemos ver que $f(x)$ es siempre positivo.

Prueba válida 1: Calculamos $f(x)$ en los puntos tres puntos: $f(-1) = 2$ , $f(0) = 1$ y $f(1)=2$ . Sea $g(x)$ sea la interpolación lineal de los puntos $(-1, 2)$ , $(0, 1)$ y $(1, 2)$ . $g$ alcanza su mínimo en $g(0) = 1$ . Desde $f^{\prime \prime} = 2$ podemos calcular un límite de error en nuestra interpolación (véase https://ccrma.stanford.edu/~jos/resample/Linear_Interpolation_Error_Bound.html ): $|f(x) - g(x)| \leq \frac{2}{8}$ . Por lo tanto, podemos concluir que $f(x) \geq \frac{3}{4} > 0$ .

Nota: A menudo, si tenemos que recurrir a métodos numéricos, será igual de difícil calcular las derivadas. Sin embargo, no necesitamos las derivadas reales, sólo necesitamos un límite superior. Cuanto mejor sea el límite, menos puntos necesitaremos para evaluar $f(x)$ en. Además, es suficiente con la primera derivada, pero tener la segunda también podría reducir el número de puntos necesarios.

Prueba válida 2: Sabemos que $f(x)$ es convexo. Usamos un método numérico para calcular su mínimo. Encontramos que $\min f(x) \approx 1.0000000075$ . También tenemos un (verdadero, no numérico ) en nuestra aproximación: $|1.0000000075 - \min f(x)| < 0.001$ . Por lo tanto, $f(x) > 1.0000000075 - 0.001 > 0$ .

Por último, no importa realmente si las pruebas analíticas existen o no. La validez de cualquier prueba sólo está determinada por esa prueba y no por otras.

De hecho, se ha demostrado que no todas las afirmaciones verdaderas pueden ser probadas. Pero eso no es motivo para reducir nuestros niveles de rigor.

Answer 2

Bueno, ¿está probado o no está probado? La forma en que has formulado tu pregunta es "si he demostrado algo con métodos numéricos, ¿lo he demostrado?". Pues sí, acabas de decir que lo has hecho.

Digamos que quieres demostrar que $f(n)$ es un número primo para $n<10^7$ . Bueno, entonces si se hace un bucle a través de todos los números menores que $10^7$ y comprobar que $f(n)$ es primo para todos ellos, tienes una prueba. No es menos prueba sólo porque no implique un montón de símbolos algebraicos y palabras como "por tanto" y "por contradicción".

Sin embargo, si quiere demostrar que $f(n)$ es un número primo para todo números, y se comprueba que $n\leq10^7$ eso simplemente no es una prueba. No hay ninguna razón filosófica sofisticada por la que no lo sea, simplemente no lo es, ¿verdad? Es decir, $f(10^7+1)$ podría no ser de primera, por lo que sabes.

Así que lo que debería preguntarse es si realmente ha demostrado su afirmación o no.

Answer 3

Y resulta que con el análisis de su problema real que podría haber encontrado una prueba exacta con el primer semestre de cálculo significa. No hay necesidad para especulativo numérico exploraciones.

Para su problema real, para encontrar soluciones a$x(γ,y)>0$ para la ecuación $$ (γ^{n−1}y)^n+(γ^{n−2}y)^{n−1}+...+(aa)^2+y=(γ,y)=x^n+x^{n−1}+...+x, $$ es bastante fácil de responder que no es exactamente uno de los efectos positivos de la raíz de $x$ fijo positivo $y$ e $γ$.

El lado derecho, en $x=0$ es cero y crece monótonamente y de forma convexa hacia el infinito, de modo que hay un positivo de la raíz de la ecuación por el teorema del valor intermedio. Además, existe un límite inferior $$ x>\frac{A}{1+A}\ge\frac{y}{1+y} $$ para el positivo de la raíz, como $x\ge 1$ o, $0<x<1$, $$ Una(1-x)=x(1-x^n)<x\implica x>\frac{A}{1+A} $$

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En general, existen métodos para determinar el número de raíces positivas como Descartes o regla de la Hurwitz criterios de estabilidad. Descartes regla cuenta el signo de los cambios en el coeficiente de la secuencia. Aquí $x^n+...+x^2+x-A=0$ tiene exactamente un cambio de signo que demuestra la existencia de exactamente uno de los efectos positivos de la raíz.

La ecuación polinómica tiene menor raíz de los límites $a_nx^n+...+a_1x+a_0=0$ $$ |x|\ge\frac{|a_0|}{|a_0|+\max_{k=1..n}|a_k|} ~~ \text{ o } ~~ |x|\ge\frac{|a_0|}{\max(|a_0|,\,|a_1|+...+|a_n|)} $$ que son el límite inferior para un único positivo de la raíz.

Answer 4

Voy a tomar el primer párrafo y que dices "no se puede demostrar analíticamente" para significar "se demostró que una prueba o refutación no existe". Bueno, lamento tener que decírtelo entonces. Estás en uno de dos escenarios.

1. La afirmación con la que trabajas puede ser verdadera o falsa sin contradicción (piensa en el 5º postulado de la Geometría Euclidiana, que muchos intentaron demostrar).

2. Existe un valor de verdad real para esta afirmación, pero la respuesta no es Turing-Computable. Si no sabes lo que significa, básicamente quiere decir que si no se da nada más que un lápiz y un papel finitos y una cantidad de tiempo arbitraria finita, nunca se obtendrá una respuesta, nunca. Se necesitaría que se manipulara infinito papel a la vez o que se hicieran infinitos pasos de alguna manera en un periodo de tiempo finito.

Lo que esto significa es que la respuesta es bastante sencilla en este caso. No importa cuál sea su método. No importa si se trata de un sofisticado sistema de resolución de pruebas de análisis real impulsado por la IA, con la capacidad de escribir una prueba para casi cualquier cosa que le pidas. No importa porque ya has demostrado que una prueba no existe . Por lo tanto, cualquier cosa que se obtenga que pretenda ser una prueba no puede ser una prueba. Esto sería una contradicción, pero obviamente no se puede tener eso.

La única excepción sería si tienes un ordenador que es más fuerte computacionalmente que una máquina de Turing. No, eso no significa poder de procesamiento. Me refiero a que pueda resolver el problema de detención. Sin embargo, si tienes un ordenador que puede hacer que entonces probablemente no deberías publicar sobre ello aquí. El récord actual de número de hipercomputadoras construidas por toda la raza humana, como se ha dicho, es .... cero. Si has construido uno, obviamente consulta otras respuestas para obtener más información sobre la validez de los distintos métodos.

Entonces, ¿cuál es? ¿Es imposible demostrar la afirmación o el razonamiento es erróneo y la prueba del método numérico es (posiblemente) válida dependiendo de los métodos exactos utilizados? No puede ser ambas cosas. Esto implicaría que las matemáticas en su conjunto están rotas, y si se descubriera o demostrara que la noción de verdad se iría completamente por la puerta. También es probable que resulte en la muerte de este sitio. Por favor, no haga eso, señor. (En realidad, lo más probable es que los axiomas que se utilizan actualmente para lo que sea que usted está estudiando reciban una corrección y todo estará bien).

Answer 5

Como se ha dicho en otras respuestas, una afirmación está probada o no está probada. Si se demuestra, lo llamamos teorema, independientemente de los métodos utilizados. Respondo por separado para llamar la atención sobre algunos de los escollos de intentar "demostrar" cosas con métodos numéricos.

La gran mayoría de la computación numérica del mundo real (fuera del sector financiero) utiliza Punto flotante IEEE 754 para representar números que pueden no ser enteros. En resumen, los números de punto flotante son un subconjunto finito (pero grande) de los racionales diádicos que se vuelven más escasos (a un ritmo aproximadamente logarítmico) a medida que nos alejamos de cero. También hay algunos valores "especiales" que se utilizan para representar los resultados de operaciones no válidas o desbordamientos aritméticos.

¿Por qué es importante? Es importante entender las limitaciones de la aritmética de punto flotante. En particular:

• No admite en absoluto los números irracionales. El Función Dirichlet y sus primos no pueden ser analizados de forma útil en absoluto.
• Los números más alejados de cero tienen menos precisión, por lo que las funciones con singularidades esenciales serán difíciles de trabajar en las cercanías de sus singularidades.
• Los límites son un problema potencial. Normalmente, un límite sólo existe si existe bajo cualquier elección posible de epsilon pero los números de punto flotante sólo pueden elegir un número finito de épsilones, todos los cuales son racionales diádicos. Por lo tanto, si se toma un límite de una función que se comporta "especialmente" sobre los racionales diádicos (por ejemplo, ciertas combinaciones de funciones trigonométricas), se puede derivar un valor incorrecto o concluir incorrectamente que el límite existe en absoluto.
• Los números en coma flotante no son asociativos en todas las operaciones que importan, debido al redondeo intermedio. Ninguna manipulación algebraica útil preservará la igualdad. Así que la igualdad es básicamente inútil y hay que aproximarse a ella mirando si los números están "suficientemente cerca". Para algunas aplicaciones, esto es un problema (por ejemplo, demostrar que un valor nunca es exactamente cero es imposible si se acerca arbitrariamente a cero).