Quería : para obtener más fórmulas para encontrar el área de un triángulo?

Question

Sé que algunas fórmulas para encontrar un triángulo de área, como los de abajo.

1. ¿Hay alguna referencia que contiene la mayoría de la zona del triángulo de las fórmulas?
2. Si usted sabe más, por favor agregue como una respuesta

$$s=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ,p=\frac{a+b+c}{2}\\s=\frac{h_a*a}{2}\\s=\frac{1}{2}bc\sin(A)\\s=2R^2\sin A \sin B \sin C$$ Otra forma simétrica está dada por : $$(4s)^2=\begin{bmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^2\\ b^2\\ c^2 \end{bmatrix}$$

Expresar las longitudes de los lados $a$, $b$ & $c$ en términos de los radios $a'$, $b'$ & $c'$ de las condiciones mutuamente círculos tangentes centrado en los vértices del triángulo (que definen el Soddy círculos) $$a=b'+c'\\b=a'+c'\\c=a'+b'$$ gives the paticularly pretty form $$s=\sqrt{a'b'c'(a'+b'+c')}$$ Si el triángulo está incrustado en el espacio tridimensional con las coordenadas de los vértices dado por $(x_i,y_i,z_i)$ $$s=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{vmatrix} y_1 &z_1 &1 \\ y_2&z_2 &1 \\ y_3 &z_3 &1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_1 &x_1 &1 \\ z_2&x_2 &1 \\ z_3 &x_3 &1 \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x_1 &y_1 &1 \\ x_2&y_2 &1 \\ x_3 &y_3 &1 \end{vmatrix}^2}$$ Cuando tenemos 2-d de coordenadas $$s=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_a &y_a &1 \\ x_b &y_b &1 \\ x_c &y_c & 1 \end{vmatrix}$$

En la figura de arriba, vamos a la circunferencia circunscrita que pasa a través de un triángulo de vértices del radio $R$, y denotan la central de ángulos, desde el primer punto hasta el segundo $q$, y para el tercer punto por $p$, entonces el área del triángulo está dada por: $$s=2R^2|\sin(\frac{p}{2})\sin(\frac{q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})|$$

Answer 1

Vectores: El área de un paralelogramo incrustado en un espacio tridimensional Euclidiano puede ser calculado usando vectores. Vamos vectores $AB$ $AC$ respectivamente de $A$ $B$e de$A$$C$. El área del paralelogramo ABDC es entonces $$\left|AB \times AC\right|$$ so that the area of a triangle is half of this, giving $$A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} |AB \times AC|.$$

Recogida del Teorema: $$A_{\text{triangle}} = i + \frac{b}{2} - 1$$ where $i$ is the number of internal lattice points of a triangle and $b$ es el número de celosía puntos de la mentira en la frontera del triángulo. Como por mathlove: se requiere que todos los vértices del triángulo están en celosía puntos.

Answer 2

• $s=pr$ donde $p=\frac{a+b+c}{2}$ $r$ es el radio de la circunferencia inscrita.

• $s=\sqrt{r\cdot r_a\cdot r_b\cdot r_c}$ donde $r_a,r_b,r_c$ son los exradii de excircles.

Answer 3

Tengo un poco más:) $$S = 4R^2(\sin Un + \sen B + \pecado C)\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\\ S = \frac{r^2}{4}\frac{\sin Un + \sen B + \sin C}{\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2}\\ S = r^2\left(\cuna\frac A2+\cuna\frac B2 + \cuna\frac C2\right)\\ S = r^2\cuna\frac A2 \cuna\frac B2 \cuna\frac C2\\ S = 2p^2 \frac{\sin\pecado B\pecado C}{(\sin Un+\sen B+\pecado C)^2}\\ S = 4p^2 \frac{\sin\dfrac A2 \sin\dfrac B2 \sin\dfrac C2}{\sin Un+\sen B+\sin C}$$

Answer 4

Si $W$ es la "hipotenusa-cara" de un derecho de la esquina, tetraedro, y $X$, $Y$, $Z$ son (de derecha triangular) "pierna-caras", entonces

$$W^2 = X^2 + Y^2 + Z^2$$

donde, sí, estamos cuadrando las áreas. (Este hecho es en realidad equivalente a la fórmula de Herón para no obtusa triángulos. Se puede extender para incluir obtuso triángulos permitiendo que el tetraedro tener imaginario(!) borde largo en su esquina derecha.)

Más generalmente, si $W$, $X$, $Y$, $Z$ son las caras de un tetraedro, y $\angle XY$ (etc) representa el ángulo diedro entre las caras $X$$Y$, entonces tenemos una apariencia familiar de la Ley de los Cosenos:

$$W^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 - 2 X Y \cos \angle XY - 2 Y Z \cos \angle YZ - 2 Z X \cos \angle ZX$$

(Esto es fácil de probar con vectores.) La anterior implica, además, otro, más familiar-en busca de la Ley:

$$\begin{align} W^2 + X^2 - 2 WX \cos\angle WX \;&=\; Y^2 + Z^2 - 2 YZ \cos\angle YZ \\ W^2 + Y^2 - 2 WY \cos\angle WY \;&=\; Z^2 + X^2 - 2 ZX \cos\angle ZX \\ W^2 + Z^2 - 2 WZ \cos\angle WZ \;&=\; X^2 + Y^2 - 2 XY \cos\angle XY \end{align}$$

(En el punto en el que te dices a ti mismo, "Si no hay justicia, cada una de estas expresiones debe ser igual al cuadrado de la superficie de la cara!", se le han inferido la existencia del tetraedro del "pseudo-caras". Pero me desvío del tema ...)

Answer 5

Expresar las longitudes de los lados a,b y c en términos de los radios a',b' y c' de las condiciones mutuamente círculos tangentes centra en el triángulo de vértices (que definen el Soddy círculos) $$a=b'+c'\\b=a'+c'\\c=a'+b'$$ give the paticularly pretty form $$s=\sqrt{a'b'c'(a'+b'+c')}$$