Significado físico del potencial en la ecuación del calor

Question

Estoy trabajando en la teoría matemática de las ecuaciones parabólicas. El prototipo de tales ecuaciones es la ecuación del calor dada como sigue : Sea $\Omega$ sea una región acotada del espacio y $T>0$ una hora fija. En $\Omega_T=(0,T)\times \Omega$ consideramos la siguiente ecuación $$u_t =\alpha\Delta u -a(x)u,$$ $$u(0,x)=f(x),$$ donde $f$ es la condición inicial, $a$ un potencial limitado, $\alpha>0$ es una constante, y $\Delta$ es el laplaciano. Me pregunto si el significado físico del coeficiente $a$ (y puede ser $\alpha$ ) y su papel en el proceso de calentamiento? Cualquier referencia o sugerencia sería útil.

Answer 1

La ecuación del calor, tal y como la has escrito, modela el flujo de energía mediante la conducción térmica (calor) a través de alguna región con unas condiciones de contorno bien definidas. Todavía no has proporcionado los detalles de la región límite, así que mi respuesta seguirá siendo general y vaga.

Le site $\alpha$ es el "coeficiente de difusión" que es la forma isotrópica (sólo los términos diagonales) del tensor de difusión - por desgracia, la ecuación del calor es un caso especial de la ecuación de difusión. Así que este coeficiente nos habla de lo difusa que es la materia que compone la región (¿cómo de difusa está la materia por la que fluye el calor?).

el significado físico del coeficiente $a$

Lo siento, al principio interpreté mal la ecuación (al principio pensé que era un simple término de forzamiento). Y luego, en segundo lugar, lo confundí con un término de convección, pero eso no es correcto ya que un término de convección es típicamente proporcional a $\frac{\partial u}{\partial x}$ (véase la ecuación 27 aquí ). He comprobado que el término $a(x)u$ podría representar un término radiativo aproximado que depende de la posición (para pequeñas pérdidas radiativas), es decir, véase la última ecuación aquí . En cuyo caso, $a$ determina la fuerza de la radiación emitido por el conductor en función de la posición. Este término de radiación sólo tiene sentido para variaciones de temperatura en la varilla que son pequeñas comparadas con la temperatura del entorno, y en el caso de fluctuaciones mayores hay que utilizar un $u^4$ (de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann).

Aquí es un escrito muy bueno para los problemas de calor no homogéneo.

Answer 2

Como se ha comentado aquí en la sección "Incorporación de la transferencia de calor lateral" (descargo de responsabilidad: mi sitio), si está considerando un problema de transferencia de calor transitorio 1-D como sugieren las variables $x$ y $t$ entonces la ecuación $$k\Delta T(x,t)-h(x)T(x,t)=c\rho\dot T(x,t)$$

representa la conducción axial con conductividad térmica $k$ , disipación de calor lateral lineal (por conducción, convección y/o ligera radiación) con coeficiente espacialmente dependiente $h(x)$ y el almacenamiento de energía con capacidad calorífica específica $c$ y la densidad $\rho$ . $T(x,t)$ es la excursión de la temperatura a partir de un valor ambiente.

La calificación de la radiación "ligera" es para garantizar la linealidad de $T(x,t)$ en ese plazo. Para la convección, $h$ es simplemente un coeficiente de convección. Como se discute en el enlace, $h$ también podría representar la conducción lateral hacia un disipador de temperatura adyacente (para una viga microfabricada suspendida, por ejemplo).

Si cambiamos las variables de $T(x,t)$ à $u$ y dividir por $c\rho$ entonces tenemos

$$\alpha \Delta u-\left(\frac{h(x)}{c\rho}\right)u=u_t,$$

con $\alpha$ siendo el difusividad térmica que coincide con su ecuación e indica que $a(x)$ corresponde a un coeficiente de calor lateral espacialmente variable dividido por la capacidad calorífica específica y la densidad. Esta es la interpretación física de ese parámetro para este tipo de sistemas (resuelvo la ecuación aquí ).

Answer 3

Lo que hay que hacer físico el nombre de su ecuación es ecuación de difusión con un término de origen . La ecuación se puede reajustar de la siguiente manera ecuación de continuidad - $u_t-\alpha u_{xx} = Q$ . Para $Q=0$ se puede demostrar que la solución dependiente del tiempo tiene una norma independiente del tiempo, que es la manifestación de la ley de conservación de la masa local. El término fuente significa que las partículas pueden ser creadas y destruidas localmente, según $Q(x)$ variación.
La ecuación de continuidad es un replanteamiento de la ley de Gauss - en un volumen infinitesimal dado, el cambio en el número de partículas en el volumen es exactamente igual al número de partículas que cruzan la superficie del mismo entrando/saliendo de este volumen. Puede obtener alguna intuición física explorando el aspecto compresible de la Ecuación de Navier-Stockes . La compresibilidad es exactamente la violación de la ecuación de continuidad.

La solución de forma cerrada está dada aquí . Este El documento wierd parece estar relacionado, sin embargo no encontré ningún artículo revisado por pares.

Answer 4

En el estudio de la transferencia térmica dentro de un disipador de calor, tenemos un término de la forma a * (T-Text) que corresponde a los intercambios conducto-convectivos entre el disipador de calor y el aire que lo rodea: es proporcional a la diferencia de temperatura de acuerdo con la ley de Newton. El primer término, en alfa, corresponde a la conducción térmica dentro del material. La densidad de corriente térmica es proporcional a la primera derivada espacial de la temperatura y la variación de esta densidad da lugar a la segunda derivada (laplaciana). El alfa de la ecuación es la difusividad térmica (conductividad/mu*C)

Answer 5

La ecuación describe el flujo de calor en presencia de fuentes o sumideros. El primer término del lado derecho es el término de difusión normal. El segundo término puede considerarse como un término de fuente o de sumidero. Para más detalles, véase: https://www.math.ubc.ca/~peirce/M257_316_2012_Lecture_19.pdf