¿La suma de dos números irracionales es casi siempre irracional?

Question

Está claro que la suma de dos números irracionales no es necesariamente irracional. Pero ¿es cierto que es "casi siempre" irracional, en el sentido de que $$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\lambda(P\cap B(x))}{\lambda(R\cap B(x))}=1$$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue, $R\subset \mathbb{R}^2$ es el conjunto de puntos con coordenadas irracionales y $P\subset R$ es el conjunto de aquellos puntos cuya suma de coordenadas es irracional (y $B(x)$ el disco de radio $x$ centrado en el origen)? Y supongo que la misma pregunta se aplica a los números trascendentales. Intuitivamente parece cierto, pero no sé cómo se podría demostrar esto. Si no es así, entonces está la cuestión de si el límite existe y si existe cuál es.

Answer 1

Dejemos que $NP$ sea el conjunto de pares cuya suma es racional. Creo que es más fácil demostrar $\lambda(NP\cap B(x))=0$ . De hecho, desde $NP\cap B(x)\subset NP$ , acabamos de probar $\lambda(NP)=0$ y hemos terminado. Deja que $$NP_x=\{(x,y)|x+y\in \mathbb{Q}\}$$ Obsérvese que la adición de la restricción a este conjunto es la traducción por $x$ que preserva la medida, por lo que la imagen inversa de los números racionales tiene medida cero. Sin embargo, existe una forma débil del teorema de Fubini que dice que si un subconjunto de un espacio de medida del producto ( que $\mathbb{R}^2$ es) tiene la propiedad de que su intersección con cada trozo tiene medida cero, entonces el conjunto tiene medida cero. Por lo tanto, $\lambda(NP)=0$ .

Volviendo a la pregunta concreta que usted plantea, $NP\cup P=\mathbb{R}^2$ Así que para cualquier bola abierta $B(x)$ $\lambda(P\cap B(x))=1$ . Por otro lado el conjunto de puntos cuyas coordenadas son irracionales es el complemento de un conjunto de medida cero, por lo que $\lambda(R\cap B(x))=1$ . Por lo tanto, usted está tomando el límite de $1/1$ .