Demuestre que,$\nexists$ funciona$f,g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ tal que$f(g(x))=x^{2018}$ y$g(f(x))=x^{2019}$.

Question

He probado un poco para resolver el problema que es el siguiente-
Mi intuición me dice $f(g(x))=x^{2018}$ e $g(f(x))=x^{2019}$, entonces se viola el bien definedness de la función.
Tenga en cuenta que, $f(g(f(x)))=f(x)^{2018}\implies f(x^{2019})=f(x)^{2018}$
Del mismo modo, $g(x^{2018})=g(x)^{2019}$
Poner a $x=1$ en $f(x^{2019})=f(x)^{2018}$ somos, $f(1)=f(1)^{2018}\implies f(1)=0,1$
Asimismo, la colocación de $x=1$ en $g(x^{2018})=g(x)^{2019}$ somos, $g(1)=g(1)^{2019}\implies g(1)=0,1,-1$
Ahora, yo no puedo seguir adelante. ¿Alguien puede resolverlo? Gracias por la ayuda por adelantado.

Answer 1

Aquí es una prueba simple (para evitar confusiones, voy a escribir $f^{y}(x)$ en lugar de $f(x)^{y}$):

Supongamos que hay dos de esas funciones $f,g$ como en tu pregunta.

Tenga en cuenta que $\forall\space i \in\{-1, 0, 1\}$, tenemos $f(i^{2019}) = f(i) = f^{2018}(i)$ e lo $\label{*}\tag{*} f(i) \in \{0, 1\} \quad\forall\space i \in\{-1, 0, 1\}.$

Por otro lado, desde la $g(f(x)) = x^{2019} \space\forall x\in\mathbb{R}$,

• $g(f(1)) = 1$,
• $g(f(0)) = 0$,
• $g(f(-1)) = -1$.

Esto es imposible, ya que $f$ (y por lo tanto también se $g\circ f$) sólo toma dos (o menos) los valores en $\{-1, 0, 1\}$ después de \ref{*}. $\Longrightarrow\Longleftarrow\quad\square$

Answer 2

Otro clásico truco que puede ser utilizado aquí es que hay un bijection entre el conjunto de puntos fijos de $fg$ y puntos fijos de $gf$. Si $x$ es tal que $f(g(x))=x$ entonces $g(f(g(x)))=g(x)$ lo $g(x)$ es un punto fijo de $gf$. Del mismo modo, siempre que $y$ es un punto fijo de $gf$, podemos ver que $f(y)$ es un punto fijo de $fg$. Convencerse de que en los conjuntos de puntos fijos, esto le da un bijection.

Puede usted ver por qué la $fg$ e $gf$ le ha dado fallar esta condición?