¿Cuál es la probabilidad de que la suma de dígitos de un número aleatorio de$k$ - dígito sea$n$?

Question

Deje $X_1, X_2, \dots, X_k$ cada ser dígitos al azar. Es decir, son independientes de las variables aleatorias cada distribuidos de manera uniforme sobre el conjunto finito $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Deje $S = X_1 + X_2 + \dots + X_k$. Dado que algunas grandes entero $n$, ¿cuál es la probabilidad de que $S = n$?

Cuando $n$ o $k$ es pequeño, el número exacto puede ser calculada como

$$[z^n]\left(\frac{1-z^{10}}{1-z}\right)^k = \frac{1}{10^k} \sum_{10r+s=n} (-1)^{r+s} \binom{k}{r} \binom{-k}{s} = \frac{1}{10^k} \sum_{r} (-1)^{r} \binom{k}{r} \binom{k+n-10r-1}{n-10r}$$

(ver la larga lista de preguntas a continuación para ver derivaciones), pero lo que necesito es un asintótica expresión útil para grandes $n$ e $k$, y no sé cómo a calcular a partir de esta fórmula, o llegar a uno de forma independiente.

(Por ahora, ya no me preocupo acerca de la complicación de insistir en que $X_1$ ser distinto de cero, a pesar de sentirse libre para considerar si en realidad ayuda.)

---

Lo que he intentado, parte 1: Como el $X_i$s son variables aleatorias IID (con una media de $\mu = 4.5$ y la varianza $\sigma^2 = 8.25$), el teorema central del límite se aplica, por lo que esperamos que $\Pr(S = n)$ a ser más alto para $n$ todo $4.5k$, y la distribución de probabilidad de $S$ para ser curva de campana en forma de en torno a ese valor (y la mayoría de la probabilidad se distribuye $n$ sobre $O(\sqrt{k})$ de ese valor).

Tratando de hacer esto más precisa, el teorema central del límite nos da
$$\sqrt{k}(S/k - 4.5) \xrightarrow{d} N(0,8.25) \quad \text{i.e.} \quad \lim _{k\to \infty}\Pr \left[\sqrt{k}(S_{k}/k- 4.5)\le z\right]= \Phi\left(\frac {z}{\sqrt{8.25}}\right)$$ donde $\Phi(x) = \frac12 \left[1+\operatorname{erf} \left(\frac{x}{\sqrt {2}}\right)\right]$ es la CDF de la distribución normal estándar $N(0,1)$ (y fer es una función especial) y por lo tanto $$\Pr(S \le x) = \Pr(S/\sqrt{k} - 4.5\sqrt{k} \le x/\sqrt{k} - 4.5\sqrt{k}) \to \Phi\left(\frac{x - 4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right)$$ y así, aplicando una corrección de continuidad, $$\begin{align}\Pr(S = n) &\approx \Pr(n - 0.5 < S \le n + 0.5) \\ &\to \Phi\left(\frac{n + 0.5 - 4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right) - \Phi\left(\frac{n - 0.5 - 4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right) \\ &= \frac12\operatorname{erf}\left(\frac{2n+1-9k}{\sqrt{66k}}\right) - \frac12\operatorname{erf}\left(\frac{2n-1-9k}{\sqrt{66k}}\right) \\ &\overset{?}{\approx} \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{66k}}\exp\left(-\left(\frac{2n-9k}{\sqrt{66k}}\right)^2\right) \end{align}$$ pero yo no sé si esto es correcto y riguroso, ni qué hacer con el siguiente.

---

Lo que he intentado, parte 2: Hay muchas preguntas en este sitio sobre el cálculo de este número exactamente:

• La probabilidad de entero aleatorio de dígitos sumar a 12

• cuántos números enteros entre uno y 100000 tiene la suma equivalente a quince?

• Cuántos números entre 100 y 900 tener suma de sus dígitos igual a 15?

• Las estrellas y las barras de encontrar "¿cuántas $x$ números de dos dígitos están ahí con la suma de los dígitos $y$"?

• Encontrar números cuya suma de los dígitos es igual a un valor

• Contando los números con cierta suma de dígitos.

• ¿Cuántos números naturales son no menos de $90000$ que tiene la suma de los dígitos igual a $8$?

• Cuántos números enteros entre 3,000 y 8,000] suma de dígitos de 20?

• El recuento $4$-los dígitos de números en el cual los dígitos de la suma es $9$

• ¿Cuántos números de entre $1$ e $9999$ tienen suma de sus dígitos igual a $8$? $16$?

• ¿Cuántos números de entre $0$ e $999,999$ existen cuyos dígitos suma a $r$

• Cuántos números enteros positivos a menos de 1.000.000 de tener la suma de sus dígitos igual a 19?

• Cuántos números enteros positivos < 10^6 suma de dígitos igual a 19

• Para cuántos números enteros de 1 a 99,999 es la suma de sus dígitos igual a 10?

• Si me entero, ¿cuántos números hay cuyos dígitos suman el número entero?

• Determinar el número de enteros positivos x, donde x≤9,999,999 y la suma de los dígitos de x es igual a 31.

• Encontrar el número de enteros positivos a menos de $10^8$ con la suma de dígitos de $24$

• Encontrar el número de enteros positivos cuyos dígitos suman 42

• Enumerar el número de soluciones de una ecuación

La mejor que se puede conseguir a partir de la lectura de todos ellos es la fórmula exacta se mencionó en la parte superior de la pregunta (hecho con funciones de generación o de la inclusión-exclusión), no un asintótica. En particular, me gustaría ser capaz de conseguir algo que se puede sintetizar más de $k$, para responder a la siguiente pregunta:

---

Pregunta 2: Deje $X_{i,j}$ cada ser IID dígitos aleatorios como antes, por $i = 1, 2, \dots$ e $j = 1, 2, \dots, i$. Deje $S_k = X_{k,1} + X_{k,2} + \dots + X_{k,k}$ ser la suma de $k$ dígitos al azar. Así que tenemos una secuencia infinita de variables aleatorias (sumas) $S_1, S_2, S_3, \dots$ cada obtiene mediante la suma de los dígitos de un número aleatorio de una longitud diferente. Dado un entero $n$, ¿cuál es la probabilidad de que algunos de los elementos de esta secuencia es exactamente igual a $n$?

En otras palabras, para cada una de las $k$ hay una distribución de probabilidad sobre $n$, y queremos saber el total de la probabilidad de que caiga en un solo entero, $n$. (Básicamente, para cada una de las $n$ habrá alguna probabilidad significativa de $k$ todo $n/4.5$ y la probabilidad caerá significativamente para $k$ más lejos de esto.)

(De nuevo, siéntase libre de añadir o retirar la condición de que $X_{k,1}$ es en realidad distribuyen en el conjunto $\{1, 2, \dots, 9\}$, es decir, es distinto de cero.)

---

Lo que he intentado, parte 3: traté de leer Distribución de la suma de los dígitos de la función de enteros aleatorios: Una encuesta (que he encontrado por la búsqueda de algunos términos relevantes), y muchos de los papeles que hace referencia. Pero tengo bastante perdido tratando de averiguar lo que es verdad para la base-$2$ versus base-$10$, y cosas por el estilo. Tal vez la respuesta a mi pregunta está enterrado en algún lugar, pero no estoy seguro.

Answer 1

Aquí nos muestran el término principal $\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{66k}}$ en OPs asintótica de expansión es correcto el uso de la silla de montar-método de punto.

Los coeficientes en la expansión de los polinomios \begin{align*} \left(\frac{1-z^{10}}{1-z}\right)^{k}=\left(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9\right)^{k}\tag{1} \end{align*} formar un unimodal de la secuencia. Tomando, incluso los valores de $2k$ el máximo es el coeficiente del término medio \begin{align*} [z^{9k}]\left(\frac{1-z^{10}}{1-z}\right)^{2k}\qquad k\geq 0\tag{2} \end{align*}

Los coeficientes en (2) forman una secuencia que comienza con $(1,10,670, 55\,252,4\,816\,030,\ldots)$. Estos números se denominan boleto de la Suerte de los números y se almacenan en OEIS. De hecho son incluso central decanomial coeficientes que son los mayores coeficientes en la expansión de (1).

También citan una fórmula asintótica para el mayor coeficiente de $\left(1+z+\cdots+z^q\right)^k$ que se da en el caso (2) \begin{align*} \color{blue}{[z^{9k}]\left(\frac{1-z^{10}}{1-z}\right)^{2k}\sim 10^{2k}\frac{1}{\sqrt{33\pi k}}}\tag{3} \end{align*} correspondiente a la OPs término principal en su expansión ($k$ incluso).

Podemos probar la expansión asintótica (3) el uso de la silla de montar-método de punto. Para ello seguimos muy de cerca la sección VIII.8 las Grandes Potencias en la Analítica de la Combinatoria por P. Flajolet y R. Sedgewick. También damos un poco de los alrededores de la información para facilitar la legibilidad.

VIII.8 Grandes poderes:

• (p. 585): La extracción de los coeficientes de potencias de una función fija y, más en general en funciones de la forma $A(z)B(z)^k$ constituye un prototipo de aplicación fácil y de la silla de montar-método de punto. Vamos a ser preocupado con el problema de la estimación de \begin{align*} [z^K]A(z)\cdot B(z)^k=\frac{1}{2\pi i}\oint A(z)B(z)^k\frac{dz}{z^{K+1}} \end{align*} como ambos $k$ e $K$ obtener grandes.

En nuestra situación (3) tenemos $A(z)=1$ e $B(z)=\left(1+z+z^2+\cdots+z^9\right)^2$ con $K=9k$. Lo que sigue son las condiciones que deben ser cumplidas por los $A(z)$ e $B(z)$ a fin de aplicar la silla método de punto.

VIII. 8.1. Las grandes potencias: la silla de punto de los límites: consideramos que a lo largo de esta sección fijo de dos funciones, $A(z)$ e $B(z)$ la satisfacción de las siguientes condiciones.

• L1: Las funciones $A(z)=\sum_{j\geq 0}a_jz^j$ e $B(z)=\sum_{j\geq 0}a_jz^j$ son analíticas en $0$ y no negativo de los coeficientes; además se supone (sin pérdida de generalidad) que $B(0) \ne 0$.

• L2: La función de $B(z)$ es aperiódica en el sentido de que $\gcd\{j|b_j>0\}=1$. (Lo $B(z)$ no es una función de la forma $\beta(z^p)$ para algunos entero $p\geq 2$ y algunos $\beta$ analítica en $0$.)

• L3: Vamos a $R\leq \infty$ ser el radio de convergencia de $B(z)$; el radio de convergencia de $A(z)$ es al menos tan grande como $R$.

Observamos las condiciones de L1 a L3 se cumplen para $A(z)=1$ e $B(z)=\left(1+z+z^2+\cdots+z^9\right)^2$ con radio de convergencia $R=\infty$. En la siguiente tenemos la cantidad de $T$ llama propagación que se define como

\begin{align*} \color{blue}{T}&:=\lim_{z\to R^{-}}\frac{zB^{\prime}(z)}{B(z)}\\ &=\lim_{z\to \infty}\frac{2z\left(1+z+\cdots+z^9\right)\left(1+2z+\cdots+9z^8\right)}{\left(1+z+\cdots+z^9\right)^2}\\ &=\lim_{z\to\infty}\frac{2z\left(1+2z+\cdots+9z^8\right)}{1+z+\cdots+z^9}\\ &\,\,\color{blue}{=18} \end{align*}

El propósito es analizar los coeficientes de \begin{align*} [z^K]A(z)\cdot B(z)^k \end{align*} cuando $K$ e $k$ están relacionadas linealmente. En orden a ello, la condición de $K<Tk$ será impuesta, que es inherente a la naturaleza del problema. Tenga en cuenta que en nuestro caso, contamos $K=9k$ e con $T=18$ la condición de $K<Tk$ evalúa a $9k<18k$ que es válido.

También necesitamos una cantidad $\zeta$ que es introducido en la Proposición VIII.7 y dado que este es un útil y de fácil derivados límite superior para los coeficientes se nota

Proposición VIII.7 (Silla de punto de los límites para las grandes potencias):

• Considerar las funciones de $A(z)$ e $B(z)$ la satisfacción de las condiciones L1,L2,L3 arriba. Deje $\lambda$ ser un número positivo con $0<\lambda <T$ y deje $\zeta$ ser el único positivo de la raíz de la ecuación

\begin{align*} \zeta\frac{B^{\prime}{(\zeta)}}{B(\zeta)}=\lambda \tag{4} \end{align*}

Entonces, para $K=\lambda k$ un entero; uno tiene \begin{align*} [z^K]A(z)\cdot B(z)^k\leq A(\zeta)B(\zeta)^k\zeta^{-K}\tag{5} \end{align*}

Empezamos con el cálculo de las raíces de (4). Nos pusimos $\lambda =9$ y obtener de acuerdo con (4) \begin{align*} z\frac{B^{\prime}(z)}{B(z)}&=9\\ \end{align*} que da con $B(z)=\left(1+z+\cdots+z^9\right)^2$: \begin{align*} \color{blue}{9z^9+7z^8+5z^7+3z^6+z^5-z^4-3z^3-5z^2-7z-9=0} \end{align*} a partir de la cual podemos deducir con facilidad el positivo de la raíz de $\color{blue}{\zeta =1}$.

Nos encontramos como límite superior de acuerdo a (5) \begin{align*} [z^{9k}]\left(\frac{1-z^{10}}{1-z}\right)^{2k}\leq \left(\sum_{k=0}^91\right)^{2k}\cdot 1^{-9k}=10^{2k} \end{align*} Este límite superior no es realmente fuerte, pero puede ser útil cuando sólo aproximada del orden de magnitud de las estimaciones son buscadas.

Ahora que estamos bien preparados para el principal teorema.

Teorema VIII.8 (Silla de montar de las estimaciones puntuales de las grandes potencias).

• Bajo las condiciones de la Proposición VIII.7, con $\lambda = K/k$, uno tiene \begin{align*} [z^K]A(z)\cdot B(z)^k=A(\zeta)\frac{B(\zeta)^k}{\zeta^{K+1}\sqrt{2\pi n \zeta}}\left(1+o(1)\right)\tag{6} \end{align*}

  donde $\zeta$ es la única raíz de $\zeta B^{\prime}(\zeta)B(\zeta)=\lambda$ y

\begin{align*} \xi=\frac{d^2}{d\xi^2}\left(\log B(\zeta)-\lambda\log \zeta\right).\tag{7} \end{align*}

• Además, una completa expansión en orden descendente de los poderes de $k$ existe.

Estas estimaciones se mantenga de manera uniforme para $\lambda$ en cualquier intervalo compacto de $(0,T)$, es decir, en un intervalo de $[\lambda^{\prime},\lambda^{\prime\prime}]$ con $0<\lambda^{\prime}<\lambda^{\prime\prime}<T$, donde $T$ es el spread.

Ahora es el momento de la cosecha. En primer lugar calculamos $\xi$ según (7). Obtenemos con $B(z)=\left(1+z+\cdots+z^9\right)^{2}$ e $\lambda=9$: \begin{align*} \color{blue}{\xi}&=\left.\left(\frac{d^2}{dz^2}\left(\log (B(z)-9\log z\right)\right)\right|_{z=1}\\ &=\left.\left(\frac{d}{dz}\left(\frac{B^{\prime}(z)}{B(z)}-\frac{9}{z}\right)\right)\right|_{z=1}\\ &=\frac{B^{\prime\prime}(1)}{B(1)}-\left(\frac{B^{\prime}(1)}{B(1)}\right)^2+9\\ &=\frac{177}{2}-81+9\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{33}{2}}\tag{8} \end{align*}

Poniendo todo junto en (6) se obtiene finalmente con $B(\zeta)=B(1)=\left.\left(1+z+\cdots+z^9\right)^{2k}\right|_{z=1}=10^{2k}$: \begin{align*} \color{blue}{[z^{9k}]\left(\frac{1-z^{10}}{1-z}\right)^{2k}} &=\frac{10^{2k}}{1^{9k+1}\sqrt{2\pi k \frac{33}{2}}}(1+o(1))\\ &\,\,\color{blue}{=10^{2k}\frac{1}{\sqrt{33\pi k}}(1+o(1))} \end{align*}

de acuerdo con la afirmación (3).

Nota: Tenemos según el teorema VIII.8 la posibilidad de calcular una plena expansión en orden descendente de los poderes de $k$. También se puede estudiar de forma asintótica expansiones de $[z^K]B(z)^{k}$ para otras cantidades de $K$ mientras cumplimos con la propagación de la condición $K<Tk$.

Answer 2

Cada dígito en un $(r+1)$-ary base es un uniforme discreta variable aleatoria, con el apoyo $[0,r]$.
La correspondiente media y la varianza son $$ \mu = {r \over 2}\quad \sigma ^{\,2} = {{\a la izquierda( {i + 1} \right)^{\,2} - 1} \más de {12}} $$

Por el Teorema Central del Límite la suma de$n$ de $k$ de ellos tienden a una distribución normal con una media de $k \mu$ y la varianza $k \sigma ^2$.
Que es la expresión que dar tenderán (muy rápidamente) $$ {1 \over {\sqrt {2\pi k\sigma ^{\,2} } }}e^{\, - \,{{\a la izquierda( {n - k\mu } \right)^{\,2} } \over {2k\sigma ^{\,2} }}} = {{\sqrt {6/\pi } } \over {\sqrt {k\r\left( {r + 2} \right)} }}e^{\, - \,6{{\a la izquierda( {n - kr/2} \right)^{\,2} } \over {k\r\left( {r + 2} \right)}}} $$

A continuación, sólo tiene que sustituir a$r=9$.

Que por lo que se refiere a la distribución asintótica.

Respecto a su otra pregunta, no he entendido bien lo que desea calcular.

\begin{align}\Pr(S = n) &\approx \Pr(n - 0.5 < S \le n + 0.5) \\ &\to \Phi\left(\frac{n + 0.5 - 4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right) - \Phi\left(\frac{n - 0.5 - 4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right) \\ &= \frac12\operatorname{erf}\left(\frac{2n+1-9k}{\sqrt{66k}}\right) - \frac12\operatorname{erf}\left(\frac{2n-1-9k}{\sqrt{66k}}\right) \\ &\overset{?}{\approx} \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{66k}}\exp\left(-\left(\frac{2n-9k}{\sqrt{66k}}\right)^2\right) \end- Adenda en respuesta a tu comentario ------

1) Un uniforme discreta variable $0 \le n \le r$ es approximable a un continuo uniforme variable $-1/2 \le \nu \le r+1/2$, $p(n) \approx p(n-1/2 \le \nu \le n+1/2)$.

2) Si $p(n\;;\,r,\,k)$ denota la probabilidad de arriba (ya sea "exacto" o "aproximada") para obtener $n$ como la suma de $k$ $(r+1)$-ary dígitos (he.yo.d.), entonces su complemento es $$ p(n\;;\,r,\,k) = 1 - p(n\;;\,r,\,k) $$ Así, la probabilidad de que $n$ no es obtenida como la suma de cualquiera de las $1$o $2$, .., o $m$ dígitos serán $$ P(n\;;\,r,\,m) = \prod\limits_{1\, \le \,k\, \le \,m} {p(n\;;\,r,\,k)} = \prod\limits_{1\, \le \,k\, \le \,m} {\left( {1 - p(n\;;\,r,\,k)} \right)} $$ Para las pequeñas $p(n\;;\,r,\,k)$ (es decir, alto $r,k$) podemos aproximar la de arriba como $$ \eqalign{ & \ln P(n\;;\,r,\,m) = \sum\limits_{1\, \le \,k\, \le \,m} {\ln \left( {1 - p(n\;;\,r,\,k)} \right)} \approx \cr & \aprox - \sum\limits_{1\, \le \,k\, \le \,m} {p(n\;;\,r,\,k) + S\left( {p(n\;;\,r,\,k)^{\,2} } \right)} \cr} $$

3) por último ten en cuenta que el $p(n\;;\,r,\,k)$ puede ser mejor escrito como $$ \eqalign{ & p(n\;;\,r,\,k) = {{N_{\,b} (n,r,k)} \over {\left( {i + 1} \right)^{\,m} }} = \cr & = \sum\limits_{\left( {0\, \le } \right)\,\,j\,\,\left( { \le \,{n \over {i + 1}}\, \le \,k} \right)} {\left( { - 1} \right)^j \binom{k}{j} \binom{n + k - 1 - j\left( {i + 1} \right)}{ n - j\left( {i + 1} \right)} } \cr} $$

que, como bien se explica en este post, le da la ventaja de que la suma de los límites implícitos en el coeficiente binomial, por tanto, simplificar su manipulación algebraica.

Answer 3

Usted puede probar que su asintótica expresión es correcta mediante el Edgeworth de la serie.

Deje $F_k$ ser el cdf para $\sqrt{\frac{k}{8.25}}(S_k/k-4.5)$. Por el teorema Central del Límite, $F_k(x)$ es aproximadamente igual a $\Phi(x)$. Específicamente, el Edgeworth de la serie muestra que $$ F_k(x)=\Phi(x) -\frac{\lambda_3}{6\sqrt k}\Phi"'(x)+O(k^{-1}) $$ Aquí, $\lambda_3$ es la asimetría de una sola de dígitos al azar. Desde esta asimetría es cero, ya que la distribución es simétrica alrededor de $[0,9]$, obtenemos $$ F_k(x)=\Phi(x)+O(k^{-1}). $$ Esto muestra el error en la central de límite de aproximación es lineal en $k$. Por lo tanto, \begin{align} P(S_k=n) &=P(n-\tfrac12<S_k\le n+\tfrac12) \\&=F_k\left(\frac{n+\frac12-4.5k}{\sqrt{8.25 k}}\right)-F_k\left(\frac{n-\frac12-4.5k}{\sqrt{8.25 k}}\right) \\&=\Phi\left(\frac{n+\frac12-4.5k}{\sqrt{8.25 k}}\right)-\Phi\left(\frac{n-\frac12-4.5k}{\sqrt{8.25 k}}\right)+O(k^{-1}) \\&\stackrel1= \Phi'(\xi)\cdot\frac1{\sqrt{8.25k}}+O(k^{-1}) \\&= \frac1{\sqrt{8.25k}}\left(\Phi'(\xi)-\Phi'\left(\frac{n-4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right)+\Phi'\left(\frac{n-4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right)\right)+O(k^{-1}) \\&\stackrel2= \frac1{\sqrt{8.25k}}\Phi'\left(\frac{n-4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right)+\frac1{8.25k}\Phi''(\eta)+O(k^{-1}) \\&\stackrel3= \frac1{\sqrt{8.25k}}\Phi'\left(\frac{n-4.5k}{\sqrt{8.25k}}\right)+O(k^{-1}) \end{align}

Explicaciones:

1. Aquí, estamos aplicando el valor medio teorema. $\xi$ es un número entre $\frac{n\pm\frac12-4.5k}{\sqrt{8.25 k}}$.

2. Ahora aplicamos el valor medio el teorema de $\Phi'$. Aquí, $\eta$ es un número entre $\xi$ e $\frac{n-4.5k}{\sqrt{8.25 k}}$

3. Podemos absorber la $\frac1{8.25k}\Phi''(\eta)$ en la $O(k^{-1})$ porque $\Phi''$ está acotada.

Esta es exactamente la expansión asintótica lo has adivinado; sin embargo, lo anterior rigurosamente muestra que su respuesta es correcta, el error disminuyendo linealmente como $k\to\infty$.

Answer 4

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

• Deje $X_{1},\ldots,X_{k}$ cada ser dígitos al azar. Es decir, son independientes de las variables aleatorias cada distribuidos de manera uniforme sobre el conjunto finito $\braces{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
• Deje $S \equiv X_{1} + \cdots + X_{k}$.
• Dado un número entero $n$, ¿cuál es la probabilidad de que $S = n$ ?.

\begin{align} &\mathbb{P}\bracks{X_{1} + \cdots + X_{k} = n} \equiv \bbox[10px,#ffd]{\sum_{x_{1} = 0}^{9}{1 \over 10}\cdots \sum_{x_{k} = 0}^{9}{1 \over 10} \bracks{z^{n}}z^{x_{1}\ +\ \cdots\ +\ x_{k}}} \\[5mm] = &\ {1 \over 10^{k}}\bracks{z^{n}}\pars{\sum_{x = 0}^{9}z^{x}}^{k} = {1 \over 10^{k}}\bracks{z^{n}}\pars{z^{10} - 1 \over z - 1}^{k} \\[5mm] = &\ {1 \over 10^{k}}\bracks{z^{n}} \pars{1 - z^{10}}^{k}\pars{1 - z}^{-k} \\[5mm] = &\ {1 \over 10^{k}}\bracks{z^{n}} \bracks{\sum_{\ell = 0}^{k}{k \choose \ell}\pars{-z^{10}}^{\ell}} \bracks{\sum_{m = 0}^{\infty}{-k \choose m}\pars{-z}^{m}} \\[5mm] = &\ {1 \over 10^{k}} \sum_{\ell = 0}^{k}{k \choose \ell}\sum_{m = 0}^{\infty} \bracks{{k + m - 1 \choose m}\pars{-1}^{m}}\pars{-1}^{\ell + m} \bracks{10\ell + m = n} \\[5mm] = &\ {1 \over 10^{k}} \sum_{\ell = 0}^{k}{k \choose \ell}\pars{-1}^{\ell} \sum_{m = 0}^{\infty}{k + m - 1 \choose k - 1} \bracks{m = n - 10\ell} \\[5mm] = &\ {1 \over 10^{k}} \sum_{\ell = 0}^{k}{k \choose \ell}\pars{-1}^{\ell} {k + n - 10\ell - 1 \choose k - 1}\bracks{n - 10\ell \geq 0} \\[5mm] = &\ \bbx{{1 \over 10^{k}} \sum_{\ell = 0}^{\color{red}{M}}{k \choose \ell} {k + n - 1 - 10\ell \choose k - 1}\pars{-1}^{\ell}\,,\quad \color{red}{M} \equiv \min\braces{k,\left\lfloor{n \over 10}\right\rfloor}} \end{align}