¿Cuántos puntos son necesarios para definir de forma única una elipse?

Question

Hace poco hice una pregunta en este foro sobre por qué 3 puntos garantizaban la presencia o ausencia de una ecuación única que representara un círculo específico.

(enlace aquí ¿Qué tienen que ver "3 puntos diferentes" con la dependencia lineal en la determinación de un círculo único? )

Poco después de esto, me encontré con una pregunta en mi libro que proporcionaba una imagen de 4 puntos rojos (imagen de abajo) y preguntaba: "¿Cuántas elipses definen estos 4 puntos rojos?". Habiendo leído los comentarios de mi post con el círculo, pensé que esto era bastante sencillo.

He elegido el "1".

Esto estaba mal. La respuesta era infinita. Esto me sorprendió, ya que no pensaba que las ecuaciones de una circunferencia y una elipse difirieran mucho más allá de un factor de escala para cada término cuadrático.

Sé que la ecuación general de una elipse es la siguiente

$$\left(\frac{x-h}a\right)^2 + \left(\frac{y-k}b\right)^2 = 1$$

Lo único que se me ocurre es que, debido a los factores de escala añadidos, ahora hay técnicamente dos incógnitas adicionales (para un total de 4 incógnitas diferentes... h, a, k y b), y por tanto necesito 4 puntos para especificar una elipse única.

Sin embargo, volví a pensar que, aunque la elipse no esté centrada en el origen, si los 4 puntos dados coincidieran con la intersección entre el eje mayor y la elipse y el eje menor y la elipse, entonces ciertamente eso especificaría una elipse única.

Si esto es cierto, ¿por qué importa la disposición de los puntos para determinar si se especifica o no una elipse única?

Se agradecerían mucho las explicaciones visuales.

Answer 1

La ecuación de un elipse es: $$ ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 $$ Por lo tanto, necesita $5$ puntos para obtener el coeficientes : $(a,b,c,d,e,f)$ suponiendo que el centro es desconocido.

Si, por el contrario, se conoce el centro, entonces $3$ puntos son suficientes, ya que la reflexión de cada punto respecto al centro es también un punto de la elipse y técnicamente se tiene $6$ puntos conocidos.

En este caso, suponiendo que el punto pintado de azul es el centro, los puntos que te han dado son simétrico con respecto a ella y por lo tanto es como tener el centro y $2$ puntos, que es no suficiente para únicamente determinar una elipse.

Answer 2

La ecuación $\left(\frac{x-h}{a}\right)^2 + \left( \frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$ es la ecuación de una elipse con los ejes mayor y menor paralelos a los ejes de coordenadas. Esperamos que tales elipses no cambien bajo reflexión horizontal y bajo reflexión vertical a través de sus ejes. En esta ecuación, estas reflexiones son efectuadas por $x \mapsto 2h - x$ y $y \mapsto 2k -y$ .

Esto significa que, si todo lo que tienes es un punto en la elipse y las tres imágenes reflejadas de este punto, no tienes $8$ coordenadas independientes; tiene $2$ y reflexiones poco informativas forzadas por la ecuación.

Podemos ver esto trazando dos elipses en el mismo centro (el mismo $h$ y $k$ ), que se cruzan en $4$ puntos, con, por ejemplo, semiejes de longitud $1$ y $2$ .

Estos tienen claramente cuatro puntos de intersección. Pero en cuanto se sabe que una elipse está centrada en el origen y contiene uno cualquiera de los cuatro puntos de intersección, por las simetrías de reflexión de los ejes mayor y menor, contiene los cuatro. Esto sigue siendo cierto si se utilizan elipses genéricas, que pueden girarse.

Recuerda que las reflexiones son a través de los ejes mayor y menor, estén donde estén.

Por supuesto, hay otras formas de que dos elipses se crucen en cuatro puntos.

Por lo tanto, el mero hecho de saber que esos cuatro puntos se encuentran en una elipse no puede indicar cuál es la intención.

Volviendo al primer diagrama, correspondiente al diagrama que te gusta donde los cuatro puntos conocidos son los vértices de un cuadrado... Las simetrías obligan a que el centro de la elipse sea el centro del cuadrado, pero no es una restricción muy fuerte.

Answer 3

Esta es exactamente la cuestión que se debatió hace varios meses aquí (en chino) . El problema central son las restricciones ocultas impuestas a la elipse.

Cuando afirma que las elipses están determinadas por la ecuación $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ se está asumiendo implícitamente que no hay elipses "inclinadas". Por ejemplo, la ecuación $x^2+y^2+xy=1$ también caracterizan una elipse, pero no se incluye en su ecuación.

Si por "determinar" quieres decir que la elipse es la única que pasa por los puntos, la respuesta es 5. Como dos elipses pueden intersecarse en cuatro puntos, estos 4 puntos no pueden determinar una única. En cambio, se puede construir fácilmente la curva cuadrática única que pasa por 5 puntos cualesquiera.

Sin embargo, puede, de hecho, utilizar sólo un para especificar una elipse. Como el conjunto de todas las elipses $E$ es equipotente a $\mathbb R^5$ como se ha comentado anteriormente, y $\mathbb R^5$ es equipotente con $\mathbb R^2$ existe una correspondencia uno a uno entre $\mathbb R^2$ y $E$ . Puede ver una discusión formal aquí .

Answer 4

" Sé que la ecuación general de una elipse es la siguiente $(\frac{x-h}{a})^2 + (\frac{y-k}{b})^2 = 1$ "

Esto no es correcto. La ecuación anterior no define todas las elipses, sino sólo las elipses con eje paralelo al eje (Ox,Oy).

La ecuación general de las elipses es, básicamente, la ecuación general de las curvas cuadráticas (con las restricciones siguientes) : $$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0$$ donde $a,b,c,d,f,g$ son constantes. Para distinguir las elipses de las hipérbolas, los círculos y otras formas degeneradas también definidas por la ecuación general anterior, las restricciones son : $$\Delta=\begin{vmatrix} a & b & d \\ b & c & f \\ d & f & g \end{vmatrix}\neq 0\quad;\quad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}>0\quad;\quad \frac{\Delta}{a+c}<0\quad\text{and}\quad a\neq c.$$ Son 5 parámetros independientes en la ecuación general anterior. Por lo tanto, son necesarios cinco puntos para definir una curva cuadrática única.

Por supuesto, dar cinco puntos arbitrarios no garantiza que la curva sea una elipse. Hay que comprobar que se cumplen las restricciones anteriores.

NOTA : Una forma más intuitiva de entender por qué son necesarios cinco puntos, es considerar la ecuación $(\frac{x-h}{a})^2 + (\frac{y-k}{b})^2 = 1$ y girar el (Ox,Oy) para no olvidar las elipses "inclinadas". Es necesario un parámetro más (el ángulo de rotación). Por tanto, cinco parámetros en total.

Answer 5

Consideremos un subconjunto del conjunto de elipses que pasa por el $4$ puntos rojos, que contiene elipses que pasan por los puntos y están centradas en $(0,0)$ con ejes paralelos a los ejes de coordenadas. La ecuación general de una elipse perteneciente a este subconjunto es $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ Desde el $4$ puntos se encuentran en la elipse, introdúcelos en su ecuación. Observa que al introducir cualquier punto se genera la misma ecuación, $$4/a^2+4/b^2=1$$ Tienes dos incógnitas $a,b$ y sólo una ecuación. Esto significa que hay infinitos pares ordenados $(a,b)$ que satisfacen la condición, por lo que el subconjunto es infinito, lo que a su vez implica que el conjunto de elipses que pasan por los puntos dados es infinito.